東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

傾き $2\mathrm{/}5$ の直線は $y=\frac{2}{5}x+d$ と書ける。これを整理して $2x-5y+c=0$ の形で表すことにする。

格子点 $(m,n)$ からこの直線までの距離は $$\frac{\mathrm{\mid }2m-5n+c\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+(-5{)}^2}}=\frac{\mathrm{\mid }2m-5n+c\mathrm{\mid }}{\sqrt{29}}$$ である。

ここで $2$ と $5$ は互いに素であるから、$2m-5n$ はすべての整数値をとる。実際、任意の整数 $k$ について $m=3k,n=k$ とすれば $2m-5n=6k-5k=k$ である。

したがって、任意の実数 $c$ に対して、ある整数 $k$ を選べば $\mathrm{\mid }k+c\mathrm{\mid }\leqq \frac{1}{2}$ とできる。上の $k$ を $2m-5n$ として実現すれば、対応する格子点から直線までの距離は $\frac{1}{2\sqrt{29}}$ 以下である。よって $$r=\frac{1}{2\sqrt{29}}$$ なら、傾き $2\mathrm{/}5$ の任意の直線はどれかの円と共有点をもつ。

次に、これより小さい半径では不十分であることを示す。たとえば $2x-5y+\frac{1}{2}=0$ を考える。この直線に対しては、任意の格子点 $(m,n)$ について $2m-5n$ は整数なので $$\mid 2m-5n+\frac{1}{2}\mid \geqq \frac{1}{2}$$ である。したがって、どの格子点からこの直線までの距離も $\frac{1}{2\sqrt{29}}$ 以上である。半径がこれより小さければ、この直線はどの円とも共有点をもたない。

以上より、求める最小値は ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{29}}}$ である。