東京大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

与えられた4本の不等式の右辺を正の実数 $t$ とした領域を $K_t$ とおく。まず $K_1$ の頂点を求める。4つの境界平面から3つずつを選んで連立すると、$$(1,1,-1),(-1,-1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1)$$を得る。どの2頂点間の距離も $2\sqrt{2}$ だから、$K_1$ は一辺 $2\sqrt{2}$ の正四面体である。

一辺を $s=2\sqrt{2}$ とする。底面の正三角形の面積は$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{s}^2=2\sqrt{3}$$である。底面の重心から底面の各頂点までの距離は ${\displaystyle \frac{s}{\sqrt{3}}}$ なので、正四面体の高さを $h$ とすれば$$h^2+{\left({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{3}}}\right)}^2=s^2\mathrm{.}$$したがって $h={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}$ であり、$K_1$ の体積は$$V(K_1)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$$となる。$K_t$ は $K_1$ を原点を中心として $t$ 倍した立体だから、$$V(K_t)={\displaystyle \frac{8}{3}}{t}^3$$である。

次に格子点数を体積と比較する。$K_n$ 内の各格子点を中心として、各辺が座標軸に平行な一辺1の立方体を置き、その合併を $U_n$ とする。これらの立方体は内部で重ならず、1個の体積は1だから$$V(U_n)=f(n)$$である。

同じ立方体内の2点では、$x+y+z$ など問題に現れる4つの一次式の値の差は、いずれも最大で ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。したがって$$U_n\subset K_{n+{\displaystyle \frac{3}{2}}}$$である。逆に、$K_{n-{\displaystyle \frac{3}{2}}}$ の任意の点について各座標に最も近い整数を選ぶと、その整数格子点では4つの一次式の値が高々 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ だけ増える。この格子点は $K_n$ に属するので$$K_{n-{\displaystyle \frac{3}{2}}}\subset U_n$$となる。よって $n\geqq 2$ で$${\displaystyle \frac{8}{3}}{(n-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^3\leqq f(n)\leqq {\displaystyle \frac{8}{3}}{(n+{\displaystyle \frac{3}{2}})}^3\mathrm{.}$$両辺を $n^3$ で割ると$${\displaystyle \frac{8}{3}}{(1-{\displaystyle \frac{3}{2n}})}^3\leqq {\displaystyle \frac{f(n)}{n^3}}\leqq {\displaystyle \frac{8}{3}}{(1+{\displaystyle \frac{3}{2n}})}^3\mathrm{.}$$はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(n)}{n^3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$$である。

$K_1$ は立方体 $-1\leqq x,y,z\leqq 1$ の互い違いの4頂点を結ぶ四面体である。立方体から四隅の合同な直角四面体4個を除いて体積を求める。格子点極限は解法1と同じ単位立方体による上下からのはさみうちで厳密に処理し、空間座標と立体の体積公式だけで進める。

右辺を正の実数 $t$ とした領域を $K_t$ とおく。$K_1$ の頂点は$$(1,1,-1),(-1,-1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1)$$である。これらは立方体$$-1\leqq x\leqq 1,-1\leqq y\leqq 1,-1\leqq z\leqq 1$$の互い違いの4頂点である。

立方体の体積は8である。$K_1$ の外側には、立方体の残り4頂点をそれぞれ頂点とする合同な直角四面体が4個ある。各直角四面体では、1つの頂点から出る互いに垂直な3辺の長さがすべて2である。底面を直角三角形と見れば、その面積は $2$ で高さは $2$ だから、1個の体積は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 2\cdot 2={\displaystyle \frac{4}{3}}$$である。したがって$$V(K_1)=8-4\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{.}$$$K_t$ は $K_1$ の $t$ 倍の相似な立体なので$$V(K_t)={\displaystyle \frac{8}{3}}{t}^3$$となる。

$K_n$ 内の各整数格子点を中心とする一辺1の立方体の合併を $U_n$ とする。立方体1個の体積は1であり、異なる立方体の内部は重ならないから$$V(U_n)=f(n)$$である。

各立方体内では、問題に現れる4つの一次式の値は中心での値から高々 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ しか変化しない。さらに任意の点の各座標を最も近い整数へ丸めても、4つの一次式の値の変化は高々 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。したがって $n\geqq 2$ で$$K_{n-{\displaystyle \frac{3}{2}}}\subset U_n\subset K_{n+{\displaystyle \frac{3}{2}}}\mathrm{.}$$体積を比較すると$${\displaystyle \frac{8}{3}}{(n-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^3\leqq f(n)\leqq {\displaystyle \frac{8}{3}}{(n+{\displaystyle \frac{3}{2}})}^3\mathrm{.}$$これを $n^3$ で割り、$n$ を限りなく大きくすれば、左右はいずれも ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ に近づく。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(n)}{n^3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$$である。