東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
約数を $n=2^j$ とおくと$$f(n)=2^j+2^{k-j}\mathrm{.}$$2つの指数が最も近いときに和が最小になる。$k=2m$ なら $j=m$ で$$\min f(n)=2^{m+1}\mathrm{.}$$$k=2m+1$ なら $j=m,m+1$ で$$\min f(n)=3\cdot 2^m\mathrm{.}$$(2)$$7!=5040,{70}^2=4900<5040<5041={71}^2\mathrm{.}$$また $70=2\cdot 5\cdot 7$ は $5040$ の約数であり$${\displaystyle \frac{5040}{70}}=72.$$$$\sqrt{5040}<71$$ なので、$\sqrt{5040}$ 以下で70より大きい整数は存在しない。
よって70は平方根以下で最大の約数であり、最も近い約数対は $70,72$ である。
したがって$$\min f(n)=70+72=142.$$

約数列上の隣り合う値の差を調べ、離散的な増減として最小位置を確定する。
$7!$ については連続関数の単調性と最大の下側約数を組み合わせる。

(1) $$F_j=2^j+2^{k-j}(0\leqq j\leqq k)$$とおくと$$F_{j+1}-F_j=2^j-2^{k-j-1}\mathrm{.}$$よって $F_j$ は $j$ が $k\mathrm{/}2$ に近づく間は減少し、その後は増加する。
したがって $k=2m$ のとき$$\min F_j=F_m=2^{m+1},$$$k=2m+1$ のとき$$\min F_j=F_m=F_{m+1}=3\cdot 2^m$$である。

(2)
正の実数 $$x\leqq \sqrt{5040}$$ に対し$$\varphi (x)=x+{\displaystyle \frac{5040}{x}}$$とおくと$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{5040}{x^2}}\leqq 0.$$よって平方根以下では、約数が大きいほど値は小さい。$$70<\sqrt{5040}<71$$ かつ $70\mid 5040$ なので、平方根以下で最大の約数は70である。
対になる約数は72だから$$\min f(n)=142$$となる。