東京大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

与えられた式を $$m^2-(a-1)m+{\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}a=m(m+1)+a({\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}-m)$$ と書く。

まず必要条件を求める。$m=0$を代入すると $${\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}a>0$$ である。$n$は正の整数なので $a>0$ が必要である。また$m=n$を代入すると $$n(n+1)+a({\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}-n)>0$$ である。ここで $${\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}-n=-{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2n+1}}$$ だから $$n(n+1)-a{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2n+1}}>0$$ である。したがって $a<2n+1$ が必要である。

次に、$0<a<2n+1$ ならばすべての整数$m$で与式が正になることを示す。 $m\leqq 0$のとき、整数$m$について $m(m+1)\geqq 0$ であり、さらに $${\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}-m>0$$ である。$a>0$より与式は正である。 $m>0$かつ $$m\leqq {\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}$$ のとき、$m(m+1)>0$であり、第2項も0以上である。したがって与式は正である。

最後に $$m>{\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}$$ とする。このとき $${\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}-m<0$$ である。$a<2n+1$を負の数に掛けると不等号の向きが逆になるので$$a({\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}-m)>(2n+1)({\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}-m)$$である。したがって与式は $m(m+1)+(2n+1)({\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}-m)$ より大きい。この右辺は $$m^2+m+n^2-(2n+1)m=m^2-2nm+n^2=(m-n{)}^2$$ である。よって与式は$(m-n{)}^2$より大きく、特に正である。

以上より、求める範囲は $0<a<2n+1$ である。

$c=n^2\mathrm{/}(2n+1)$ とおき、与式を $m(m+1)+a(c-m)$ と見る。係数 $c-m$ の符号によって、各整数 $m$ が $a$ に課す条件を整理する。上限を与える $m>c$ では、その上限と $2n+1$ の差が完全平方になることを示し、最も厳しい整数が $m=n$ だと特定する。

$$c={\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}$$とおくと、与式は$$m(m+1)+a(c-m)$$である。

$m=0$ を代入すると $ac>0$ であり、$c>0$ だから$$a>0$$が必要である。

$m\le c$ の整数については、$m\ge 1$ なら$$m(m+1)>0,a(c-m)\ge 0$$である。$m\le 0$ なら $m(m+1)\ge 0$ かつ $c-m>0$ なので、やはり $a>0$ のもとで与式は正になる。

残る $m>c$ では $c-m<0$ であるから、条件は$$a<R_m,R_m={\displaystyle \frac{m(m+1)}{m-c}}$$と同値である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R_m-(2n+1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{m(m+1)-(2n+1)(m-c)}{m-c}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{m^2-2nm+n^2}{m-c}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(m-n{)}^2}{m-c}}\ge 0.}\end{array}$$従って、すべての $m>c$ が与える上限は $2n+1$ 以上である。また$$n-c={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2n+1}}>0$$なので $m=n$ はこの範囲に属し、等号$$R_n=2n+1$$を実現する。

以上より、上限として最も厳しいものは $m=n$ が与える$$a<2n+1$$である。下限 $a>0$ と合わせて、求める範囲は$$0<a<2n+1$$となる。