東京大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

時刻 $n+1$ に $A_i$ にいるためには、時刻 $n$ に $A_i$ 以外の頂点にいて、そこから $A_i$ へ移ればよい。どの頂点からも他の3頂点へ同じ確率 $1\mathrm{/}3$ で移るから $$P_i(n+1)={\displaystyle \frac{1}{3}}\{1-P_i(n)\}$$ である。これを$$P_i(n+1)-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1-P_i(n)}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(P_i(n)-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$と変形する。

したがって $P_i(n)-1\mathrm{/}4$ は公比 $-1\mathrm{/}3$ の等比数列であり、$$P_i(n)-{\displaystyle \frac{1}{4}}=(P_i(0)-{\displaystyle \frac{1}{4}}){(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n$$ が成り立つ。

まず $P_1(0)=1\mathrm{/}4$ だから $P_1(n)-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$ であり、すべての $n$ について $P_1(n)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

次に $P_2(0)=1\mathrm{/}2$ だから$$P_2(n)-{\displaystyle \frac{1}{4}}=({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}){(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n={\displaystyle \frac{1}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n$$である。したがって $$P_2(n)={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n$$ である。

確率ベクトルを、全成分が $1\mathrm{/}4$ の平衡部分と、成分和が0のずれに分ける。遷移行列は平衡部分を保ち、ずれを毎秒 $-1\mathrm{/}3$ 倍することを直接確かめる。

確率ベクトルを$$\mathit{P}(n)=\left(\begin{array}{c}{P}_1(n)\\ P_2(n)\\ P_3(n)\\ P_4(n)\end{array}\right)$$とする。1秒の遷移を表す行列は$$T={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$全成分が1のベクトルを $\mathit{e}$ とすると $$T\mathit{e}=\mathit{e}$$ である。
一方、成分和が0のベクトル $\mathit{u}$ について、第 $i$ 成分は$$(T\mathit{u}{)}_i={\displaystyle \frac{1}{3}}\sum _{j\mathrm{\ne }i}{u}_j=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{u}_i$$となる。したがって平衡ベクトル $\mathit{e}\mathrm{/}4$ からのずれは毎秒 $-1\mathrm{/}3$ 倍され、$$\mathit{P}(n)={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathit{e}+{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n\{\mathit{P}(0)-{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathit{e}\}\mathrm{.}$$第1成分では初期のずれが0なので$$P_1(n)={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$第2成分では初期のずれが $1\mathrm{/}2-1\mathrm{/}4=1\mathrm{/}4$ だから$$P_2(n)={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n\mathrm{.}$$いずれも $n=0$ を含むすべての非負整数 $n$ で成り立つ。