東京大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$F(x,y)=1-ax-by-axy$ とおく。$y$ を固定すると $F(x,y)$ は $x$ の一次式であるから、$-1\leqq x\leqq 1$ における最小値は $x=-1$ または $x=1$ でとる。さらに $x$ を固定すると $F(x,y)$ は $y$ の一次式であるから、正方形 $$-1\leqq x\leqq 1,-1\leqq y\leqq 1$$ 上の最小値は4つの頂点のいずれかでとる。

各頂点での値は $F(1,1)=1-2a-b,$ $F(1,-1)=1+b,$ $F(-1,1)=1+2a-b,$ $F(-1,-1)=1+b$ である。したがって、最小値が正となるための必要十分条件は $$1-2a-b>0,1+2a-b>0,1+b>0$$ である。

これを $(a,b)$ の条件として書き直すと $$b<1-2a,b<1+2a,b>-1$$ である。上2つは $b<1-2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ とまとめられる。さらに $-1<b<1-2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ が成り立つには $1-2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>-1$、すなわち $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1$ が必要である。

よって求める範囲は $$-1<a<1,-1<b<1-2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$$ である。図形としては、3直線 $$b=1-2a,b=1+2a,b=-1$$ で囲まれる三角形の内部であり、頂点は $(-1,-1),(1,-1),(0,1)$ である。ただし、最小値が $0$ ではなく正でなければならないので、境界はすべて含まない。

$y$ について先に最小化し、$1-ax-\mathrm{\mid }b+ax\mathrm{\mid }$ を得る。これは $x$ の凹関数なので区間の最小値は端点でとる。2つの絶対値不等式を一次不等式へ戻して領域を求める。

与式を$$F(x,y)=1-ax-y(b+ax)$$と書く。$x$ を固定したとき、$-1\leqq y\leqq 1$ における最小値は$$\underset{y}{\min }F(x,y)=1-ax-\mathrm{\mid }b+ax\mathrm{\mid }$$である。この右辺は、一次関数から絶対値関数を引いたものなので $x$ の凹関数である。
したがって $[-1,1]$ 上の最小値は端点 $x=-1,1$ のいずれかでとる。

ゆえに求める必要十分条件は$$1-a-\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }>0,1+a-\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }>0.$$第1式は$$\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }<1-a$$であり、これは$$a<1,-1<b<1-2a$$と同値である。同様に第2式は$$a>-1,-1<b<1+2a$$と同値である。両方を合わせると$$-1<a<1,-1<b<\min (1-2a,1+2a)\mathrm{.}$$したがって$$-1<a<1,-1<b<1-2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$これは頂点 $(-1,-1),(1,-1),(0,1)$ をもつ三角形の内部である。
不等号がすべて狭義なので、3辺と3頂点は含まれない。