東京大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

1回の操作では、左端・まん中・右端のいずれか1枚が、それぞれ確率 $1\mathrm{/}3$ で選ばれて裏返ると考えればよい。3回後に「黒白白」となるには、左端が奇数回、まん中と右端が偶数回選ばれる必要がある。

左端が3回選ばれる場合は $1$ 通りである。左端が1回だけ選ばれる場合は、左端を選ぶ回の位置が3通りあり、残り2回はまん中だけ、または右端だけにそろう必要があるので $3\cdot 2=6$ 通りである。したがって有利な操作列は $1+6=7$ 通りである。全操作列は $3^3$ 通りなので、求める確率は $${\displaystyle \frac{7}{3^3}}={\displaystyle \frac{7}{27}}$$ である。

(2)

奇数回の操作後には、黒い板の枚数は奇数である。3枚しかないので、黒い板の枚数は1枚または3枚である。ここで、$2k+1$ 回後に黒い板が1枚である確率を $p_{2k+1}$ とする。これは問題文の「黒白白」「白黒白」「白白黒」のいずれかである確率に等しい。

黒い板が1枚の状態から2回操作した後を考える。2回とも同じ板を選べば元の状態に戻るので、これは3通りである。また、黒い板1枚と白い板1枚を1回ずつ選ぶと、黒い板の位置が入れ替わり、やはり黒い板は1枚になる。この場合は、白い板の選び方が2通り、順序が2通りなので $2\cdot 2=4$ 通りである。よって、黒1枚から2回後も黒1枚である確率は $${\displaystyle \frac{3+4}{9}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$$ である。

一方、黒い板が3枚の状態から2回操作した後に黒い板が1枚になるには、異なる2枚を1回ずつ選べばよい。これは $3\cdot 2=6$ 通りなので、その確率は ${\displaystyle \frac{6}{9}}$ である。

したがって$$p_{2k+3}={\displaystyle \frac{7}{9}}{p}_{2k+1}+{\displaystyle \frac{6}{9}}(1-p_{2k+1})={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}{p}_{2k+1}$$である。また、1回後は必ず黒い板が1枚なので $p_1=1$ である。定数 $c$ を用いて $$c={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}c$$ を解くと $c=3\mathrm{/}4$ であるから、$$p_{2k+3}-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{9}}(p_{2k+1}-{\displaystyle \frac{3}{4}})$$ となる。よって $$p_{2k+1}={\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k$$ である。問題では $k$ は自然数なので、特に $k=1,2,\dots$ に対してこの式を用いればよい。

条件・検算

$k=0$ を代入すると $p_1=1$、$k=1$ では $p_3=7\mathrm{/}9$ となり、3回後に黒1枚となる直接計数 $21\mathrm{/}27$ と一致する。

各板が選ばれた回数の偶奇だけに注目し、ちょうど1枚だけが奇数回選ばれる列を偶奇抽出で直接数える。3枚の対称性を使って全有利列数を求める。

(1)

3回後に「黒白白」となるには、左端の板が奇数回、他の2枚が偶数回選ばれればよい。左端が3回選ばれる列が1通り、左端が1回で残り2回が同じ他の板となる列が$$3\cdot 2=6$$通りある。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{1+6}{3^3}}={\displaystyle \frac{7}{27}}$$である。

(2)

$2k+1$回の操作後に黒い板がちょうど1枚であることは、3枚のうちちょうど1枚が奇数回、残り2枚が偶数回選ばれることと同じである。特定の1枚だけが奇数回選ばれる操作列の数を$N_k$とする。

$n=2k+1$とおく。3枚を選んだ回数をそれぞれ$i,j,\mathrm{\ell }$とすると、操作列数は多項式$(X+Y+Z{)}^n$の係数で表せる。$i$が奇数、$j,\mathrm{\ell }$が偶数である項だけを、$X,Y,Z$へそれぞれ$\pm 1$を代入する8通りの符号和で抽出すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N_k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{8}}\{3^n-1+1+1+1+1-1+3^n\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3^{2k+1}+1}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$どの1枚が奇数回選ばれるかは3通りあるので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{2k+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3N_k}{3^{2k+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$p_{2k+1}={\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k$$である。