東京大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

1回の操作は、左端・まん中・右端のうち1枚を等確率で選んで裏返す操作である。3回後に「黒白白」となるには、左端が奇数回、まん中と右端が偶数回選ばれる必要がある。

左端が3回選ばれる場合は1通りである。左端が1回だけ選ばれる場合は、左端を選ぶ回が3通りあり、残り2回はまん中だけ、または右端だけにそろう必要があるので $3\cdot 2=6$ 通りである。したがって有利な操作列は $1+6=7$ 通りであり、全操作列は $3^3$ 通りだから、求める確率は $${\displaystyle \frac{7}{3^3}}={\displaystyle \frac{7}{27}}$$ である。

(2)

まず $n$ が偶数の場合を考える。偶数回後には黒い板の枚数も偶数であるから、「白黒白」にはならない。したがって「白白白」となる確率を求めればよい。 $2k$ 回後に「白白白」である確率を $q_{2k}$ とする。偶数回後には黒い板の枚数は0枚または2枚である。黒0枚の状態から2回操作して再び黒0枚になるには、2回とも同じ板を選べばよい。これは3通りなので確率は $${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。黒2枚の状態から2回操作して黒0枚になるには、その黒い2枚を1回ずつ選べばよい。順序が2通りあるので確率は ${\displaystyle \frac{2}{9}}$ である。

したがって$$q_{2k+2}={\displaystyle \frac{1}{3}}{q}_{2k}+{\displaystyle \frac{2}{9}}(1-q_{2k})={\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}{q}_{2k}$$である。初期値は $q_0=1$ である。固定値 $$c={\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}c$$ は $c=1\mathrm{/}4$ なので、$$q_{2k+2}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{9}}(q_{2k}-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ である。よって$$q_{2k}={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k(k=0,1,2,\dots )$$を得る。問題の操作回数は正なので、偶数の場合は $n=2k$, $k=1,2,\dots$ として用いる。

次に $n$ が奇数の場合を考える。奇数回後には黒い板の枚数が奇数であるから、「白白白」にはならない。したがって「白黒白」となる確率を求めればよい。 $2k+1$ 回後に黒い板が1枚である確率を $p_{2k+1}$ とする。黒1枚状態から2回後も黒1枚である確率は、2回同じ板を選ぶ3通りと、黒1枚・白1枚を1回ずつ選ぶ4通りを合わせて ${\displaystyle \frac{7}{9}}$ である。黒3枚状態から2回後に黒1枚となる確率は、異なる2枚を選ぶ6通りに対応するので ${\displaystyle \frac{6}{9}}$ である。したがって$$p_{2k+3}={\displaystyle \frac{7}{9}}{p}_{2k+1}+{\displaystyle \frac{6}{9}}(1-p_{2k+1})={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}{p}_{2k+1}$$である。$p_1=1$ だから、文科第4問と同様に $$p_{2k+1}={\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k$$ となる。

黒い板が1枚である3つの配置「黒白白」「白黒白」「白白黒」は対称である。したがって「白黒白」となる確率は、この3分の1であり、$${\displaystyle \frac{1}{3}}{p}_{2k+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k$$である。

以上より、求める確率は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k& (n=2k,k=1,2,\dots ),\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k& (n=2k+1,k=0,1,2,\dots )\end{array}$$である。

条件・検算

偶数回には黒板数が偶数、奇数回には奇数なので、二つの目標配置が同時に起こることはない。$n=1$ の式は中央だけ黒となる確率 $1\mathrm{/}3$ と一致する。

操作列を各板の反転回数の偶奇で直接分類する。偶数回では3枚とも偶数回、奇数回では中央だけ奇数回となる列数を偶奇抽出して求める。

(1)

左端だけが奇数回選ばれる3回の操作列を数える。左端を3回選ぶ列が1通り、左端を1回選び、残り2回で同じ他の板を選ぶ列が$$3\cdot 2=6$$通りある。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{7}{27}}$$である。

(2)

$n=2k$のとき「白白白」となるには3枚がすべて偶数回選ばれればよい。偶奇抽出により、その操作列数は$${\displaystyle \frac{3^{2k}+3}{4}}$$通りである。よって確率は$${\displaystyle \frac{3^{2k}+3}{4\cdot 3^{2k}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k\mathrm{.}$$$n=2k+1$のとき「白黒白」となるには、まん中だけが奇数回、左右が偶数回選ばれればよい。その操作列数は$${\displaystyle \frac{3^{2k+1}+1}{4}}$$通りだから、確率は$${\displaystyle \frac{3^{2k+1}+1}{4\cdot 3^{2k+1}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k\mathrm{.}$$以上より$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k& (n=2k,k=1,2,\dots ),\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k& (n=2k+1,k=0,1,2,\dots )\end{array}$$である。