東京大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 非最終ラウンドで続行する確率は ${\displaystyle \frac{k}{10}}$ である。1回のラウンドで停止して得る得点の無条件の寄与は$${\displaystyle \frac{1}{10}}\sum _{x=k+1}^{10}x={\displaystyle \frac{55-{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}}{10}}\mathrm{.}$$したがって期待値を $E_{r,k}$ とすると$$E_{r,k}={\displaystyle \frac{55-{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}}{10}}\sum _{j=0}^{r-2}{\left({\displaystyle \frac{k}{10}}\right)}^j+{\displaystyle \frac{11}{2}}{\left({\displaystyle \frac{k}{10}}\right)}^{r-1}\mathrm{.}$$等比級数を整理すると$$E_{r,k}={\displaystyle \frac{k+11}{2}}-{\displaystyle \frac{k^r}{2\cdot {10}^{r-1}}}\mathrm{.}$$(2) 最終ラウンドの期待値は$${\displaystyle \frac{1+2+\cdots +10}{10}}={\displaystyle \frac{11}{2}}\mathrm{.}$$第1ラウンドで $$x>{\displaystyle \frac{11}{2}}$$ なら停止し、$$x<{\displaystyle \frac{11}{2}}$$ なら続行するのが最適である。よって1から5では続行、6から10では停止する戦略 $f_5$ を用いる。その期待値は$${\displaystyle \frac{5\cdot ({\displaystyle \frac{11}{2}})+(6+7+8+9+10)}{10}}={\displaystyle \frac{27}{4}}\mathrm{.}$$(3) 第2ラウンドでは (2)と同じ $f_5$ が最適で、そのラウンド以降の期待値は ${\displaystyle \frac{27}{4}}$ である。第1ラウンドでは $$x>{\displaystyle \frac{27}{4}}$$ のとき停止すべきだから、1から6で続行、7から10で停止する $f_6$ が最適である。最大期待値は$${\displaystyle \frac{6\cdot ({\displaystyle \frac{27}{4}})+(7+8+9+10)}{10}}={\displaystyle \frac{149}{20}}\mathrm{.}$$したがって第1ラウンドは $f_6$、第2ラウンドは $f_5$ を用いる。

条件・検算

停止のしきい値は続行価値との比較で決まる。同値の場合の選択は期待値を変えないが、本問の最適境界では整数値との一致は起こらない。

固定戦略の期待値を閉じた式にしたあと、$k$ を1増やしたときの差を調べて最適なしきい値を決める。3ラウンドでは第2ラウンドの最適価値を続行価値として第1ラウンドを同様に比較する。

(1)

停止時の1ラウンド当たりの寄与は$${\displaystyle \frac{1}{10}}\sum _{x=k+1}^{10}x={\displaystyle \frac{55-{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}}{10}}\mathrm{.}$$到達確率を等比級数で足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_{r,k}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{55-{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}}{10}}\sum _{j=0}^{r-2}{\left({\displaystyle \frac{k}{10}}\right)}^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{11}{2}}{\left({\displaystyle \frac{k}{10}}\right)}^{r-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{k+11}{2}}-{\displaystyle \frac{k^r}{2\cdot {10}^{r-1}}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)$$E_{2,k}={\displaystyle \frac{k+11}{2}}-{\displaystyle \frac{k^2}{20}}$$だから$$E_{2,k+1}-E_{2,k}={\displaystyle \frac{9-2k}{20}}\mathrm{.}$$$k=4$ までは正、$k=5$ から負なので最大は $k=5$ であり、$$f_5,E_{2,5}={\displaystyle \frac{27}{4}}\mathrm{.}$$(3)

第2ラウンドの続行価値は ${\displaystyle \frac{27}{4}}$ である。第1ラウンドで $f_k$ を使うと$$G_k={\displaystyle \frac{k({\displaystyle \frac{27}{4}})+\sum _{x=k+1}^{10}x}{10}}\mathrm{.}$$したがって$$G_{k+1}-G_k={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{27}{4}}-(k+1)}{10}}\mathrm{.}$$$k=5$ から6へは増え、6から7へは減るので第1ラウンドは $f_6$、
第2ラウンドは $f_5$ が最適である。最大期待値は$$G_6={\displaystyle \frac{149}{20}}\mathrm{.}$$