東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

下2桁は $100$ で割った余りで決まる。$5m^4$ を $100$ で割った余りは，$m^4$ を $20$ で割った余りによって決まる。 $m$ を $2$ と $5$ での割れ方により分ける。

まず $m$ が $10$ の倍数のとき，$m^4$ は ${10}^4$ の倍数であるから $5m^4\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)$ である。

次に，$m$ が $5$ の倍数で $10$ の倍数でないとする。このとき $m=5u$ と書け，$u$ は奇数である。すると $$5m^4=5\cdot 5^4{u}^4=3125u^4$$ である。$3125u^4\equiv 25u^4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)$ であり，奇数 $u$ については $u^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ だから $25u^4\equiv 25(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)$ である。したがって下2桁は $25$ である。

次に，$m$ が偶数で $5$ の倍数でないとする。$m=2u$ と書くと，$u$ は $5$ の倍数ではない。$5$ で割った余りが $0$ でない数の4乗は $5$ で割ると $1$ 余るので，$u^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ である。よって $$m^4=16u^4\equiv 16(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}20)$$ となり，$5m^4\equiv 80(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)$ である。

最後に，$m$ が $10$ と互いに素であるとする。このとき $m$ は奇数で，かつ $5$ の倍数でない。したがって $m^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),m^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ であるから $m^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}20)$ である。よって $5m^4\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)$ である。

以上から，候補は $0,5,25,80$ である。実際，$m=10,1,5,2$ とすれば，それぞれ $0,5,25,80$ が現れる。したがって求める下2桁は $0,5,25,80$ である。

$2$ と $5$ での割れ方による4分類で、すべての整数 $m$ を尽くす。

$5(m+20{)}^4-5m^4$ が100の倍数になることから、下2桁は $m$ の20による剰余だけで決まる。剰余を偶奇と5の倍数性でまとめ、代表元だけを計算する。

二項定理により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 5\{(m+20{)}^4-m^4\}}& {\displaystyle =5\{80m^3+2400m^2+32000m+160000\}}\end{array}$$は100の倍数である。したがって $5m^4$ の下2桁は $m$ を20で
割った余りだけで決まる。

20個の剰余を一つずつ計算する必要はない。次の4類にまとめられる。$$\begin{array}{ccc}m\text{ の類}& m^4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}20)& 5m^4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)\\ 10\mid m& 0& 0\\ m\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)& 5& 25\\ 2\mid m,5\nmid m& 16& 80\\ (m,10)=1& 1& 5\end{array}$$第3行は $m=2u,5\nmid u$ として$$m^4=16u^4\equiv 16(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}20)$$、第4行は
$m^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ かつ $m^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ から従う。

実際、$m=10,5,2,1$ でそれぞれ
$0,25,80,05$ が現れる。よって求める下2桁は$$00,05,25,80$$である。