東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

条件(A)は $$x,y,z\in {\mathbb{Z}}_{>0},x^2+y^2+z^2=xyz,x\leqq y\leqq z$$ である。

まず $y=1$ のとき，$x\leqq y$ より $x=1$ である。方程式は $1+1+z^2=z$ すなわち $z^2-z+2=0$ となり，正の整数解をもたない。

次に $y=2$ のとき，$x=1$ または $x=2$ である。$x=1$ なら $1+4+z^2=2z$ より $z^2-2z+5=0$ であり，解をもたない。$x=2$ なら $4+4+z^2=4z$ より $z^2-4z+8=0$ であり，これも解をもたない。

最後に $y=3$ のとき，$x=1,2,3$ を調べる。$x=1$ なら $1+9+z^2=3z$ より $z^2-3z+10=0$ であり，解をもたない。$x=2$ なら $4+9+z^2=6z$ より $z^2-6z+13=0$ であり，解をもたない。$x=3$ なら $9+9+z^2=9z$ より $z^2-9z+18=0$ である。したがって $(z-3)(z-6)=0$ となり，$z\geqq 3$ なので $z=3,6$ を得る。

よって，$y\leqq 3$ を満たす組は $(3,3,3),(3,3,6)$ である。

(2) $(a,b,c)$ が条件(A)を満たすとする。すなわち $$a^2+b^2+c^2=abc,a\leqq b\leqq c$$ である。 $z$ についての2次方程式 $z^2-bcz+b^2+c^2=0$ を考える。$z=a$ を代入すると $a^2-abc+b^2+c^2=0$ であり，これは条件(A)の方程式そのものである。したがって $a$ はこの2次方程式の解である。もう一方の解を $z$ とすると，解と係数の関係より $a+z=bc$ だから $z=bc-a$ である。この $z$ は整数である。

この $z$ は同じ2次方程式を満たすので $z^2-bcz+b^2+c^2=0$ であり，すなわち $b^2+c^2+z^2=bcz$ である。

次に順序を確認する。(1)の結果から，条件(A)を満たす組では $b\geqq 3$ である。もし $b\leqq 3$ なら，(1)より $(a,b,c)$ は $(3,3,3)$ または $(3,3,6)$ であり，いずれも $b=3$ である。したがって常に $b\geqq 3$ である。

よって $z-c=bc-a-c=c(b-1)-a$ であり，$b\geqq 3$，$a\leqq c$ から $z-c\geqq 2c-a\geqq c>0$ である。したがって $b\leqq c<z$ であり，$z$ は正の整数である。以上より $(b,c,z)=(b,c,bc-a)$ は条件(A)を満たす。

(3)

(1) より $(3,3,3)$ は条件(A)を満たす。さらに(2)より，条件(A)を満たす組 $(a,b,c)$ から $(b,c,bc-a)$ という新しい条件(A)の組を作ることができる。

しかも(2)で示したように，新しい第3成分は $bc-a>c$ を満たす。したがってこの操作を繰り返すと，第3成分は $3<6<\cdots$ のように真に増加し，同じ組に戻ることはない。よって条件(A)を満たす組は無数に存在する。

したがって $\text{条件(A)を満たす組 }(x,y,z)\text{ は無数に存在する}$ ことが示された。