東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $n=1$ のとき，方程式は $x+y+z=xyz$ である。$x,y,z$ は正の整数で，$x\leqq y\leqq z$ とする。

まず $x=1$ の場合を考える。このとき $1+y+z=yz$ であるから $yz-y-z=1$ となる。両辺に1を加えて $(y-1)(z-1)=2$ である。$y\leqq z$ なので，正の整数解は $y-1=1,z-1=2$ だけであり，$(y,z)=(2,3)$ である。したがって $(x,y,z)=(1,2,3)$ を得る。

次に $x=2$ の場合を考える。このとき $y,z\geqq 2$ であり，方程式は $2+y+z=2yz$ である。条件 $y,z\geqq 2$ を用いると $2yz-(2+y+z)=2yz-y-z-2$ である。$y,z\geqq 2$ だから $$2yz-y-z-2\geqq 4z-2-z-2=3z-4>0$$ である。したがって $2yz>2+y+z$ となり，方程式は成り立たない。

最後に $x\geqq 3$ の場合を考える。このとき $y\geqq x\geqq 3$ である。$z\geqq y\geqq x$ なので $x+y+z\leqq 3z$ である。一方 $xyz\geqq 9z>3z$ である。したがって $xyz>x+y+z$ となり，方程式は成り立たない。

以上より，求める組は $(x,y,z)=(1,2,3)$ だけである。

(2) $x,y,z$ を正の実数とする。相加相乗平均より $${\displaystyle \frac{x^3+y^3+z^3}{3}}\geqq \sqrt[3]{x^3{y}^3{z}^3}=xyz$$ である。したがって $x^3+y^3+z^3\geqq 3xyz$ である。

もし $x^3+y^3+z^3=xyz$ が成り立つなら，これと上の不等式から $xyz\geqq 3xyz$ となる。しかし $x,y,z$ は正の実数なので $xyz>0$ であり，これは不可能である。よって $$n=3\text{ のとき，正の実数の組 }(x,y,z)\text{ は存在しない}$$ である。