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東京大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

p，qを2つの正の整数とする。
整数a，b，cで条件−q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦aを満たすものを考え，
このようなa，b，cを[a, b ; c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ。
各(p,q)パターン[a, b ; c]に対してw([a, b ; c])=p−q−(a+b)とおく。

(1) (p,q)パターンのうち，w([a, b ; c])=−qとなるものの個数を求めよ。
また，w([a, b ; c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ。

以下p=qの場合を考える。

(2) sを整数とする。
(p,p)パターンでw([a, b ; c])=−p+sとなるものの個数を求めよ。

(3) (p,p)パターンの総数を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安22分

場合の数、整数　数え上げ、場合分け、和の計算、誘導利用

方針

w([a,b;c])=p−q−(a+b) は c に依存しないので、まず指定された w の値を a+b の条件へ直す。(1) は端の和になり、a,b は一意に決まる。(2) では p=q として a+b=p−s を固定する。a の取り得る範囲は s により変わるため、s<0、0≦s≦p、p≦s≦2p、s>2p に分ける。各 a に対して c は a−b+1 通りである。(3) は (2) の個数を s で合計する。別解として、総数だけなら b=−j と置き、a,j を直接動かして a+j+1 を二重和にしてもよい。

解答

(1) w([a,b;c])=−q となる条件は p−q−(a+b)=−q すなわち a+b=p である。条件より 0≦a≦p、b≦0 なので、a+b=p となるのは a=p,b=0 の場合に限られる。このとき c は 0≦c≦p を満たす整数であるから、p+1 通りである。

また w([a,b;c])=p となる条件は p−q−(a+b)=p すなわち a+b=−q である。条件より a≧0、b≧−q なので、a+b=−q となるのは a=0,b=−q の場合に限られる。このとき c は −q≦c≦0 を満たす整数であるから、q+1 通りである。

したがって答えは p+1,q+1 である。

(2)
以下 p=q とする。このとき w([a,b;c])=−(a+b) である。したがって w([a,b;c])=−p+s は a+b=p−s と同値である。

条件 0≦a≦p、−p≦b≦0 から −p≦a+b≦p である。したがって p−s がこの範囲に入らない、すなわち s<0 または s>2p のとき、個数は0である。

次に 0≦s≦p とする。b=p−s−a とおくと、b≦0 から a≧p−s、また a≦p である。よって p−s≦a≦p である。各 a に対して c は b≦c≦a を満たす整数であるから、その個数は a−b+1=a−(p−s−a)+1=2a−p+s+1 である。したがって個数は ∑a=p−sp(2a−p+s+1)=(s+1)(p+1) である。

次に p≦s≦2p とする。このとき b=p−s−a とおくと、b≧−p から p−s−a≧−p すなわち a≦2p−s である。また a≧0 なので 0≦a≦2p−s である。各 a に対する c の個数は同じく 2a−p+s+1 であるから、求める個数は ∑a=02p−s(2a−p+s+1) である。m=2p−s とおくと ∑a=0m(2a−p+s+1)=(m+1)(−p+s+1)+m(m+1) であり、m=2p−s を戻すと (2p−s+1)(p+1) となる。

以上より、個数は{0(s<0),(s+1)(p+1)(0≦s≦p),(2p−s+1)(p+1)(p≦s≦2p),0(s>2p)である。s=p では中央の2式が同じ値 (p+1)2 を与える。

(3)
(2) の結果を全ての整数 s について足せば、(p,p) パターンの総数が得られる。ただし s=p を二重に数えないように、後半の和は s=p+1 から始める。総数=∑s=0p(s+1)(p+1)+∑s=p+12p(2p−s+1)(p+1)=(p+1){∑s=0p(s+1)+∑s=p+12p(2p−s+1)}=(p+1){(p+1)(p+2)2+p(p+1)2}=(p+1)3である。したがって (p+1)3 である。

別解

解法2（正方形内の対角線で数える）

方針

j=−b とおくと (a,j) は整数格子の正方形 0≦a,j≦p を動く。重みの条件は対角線 a−j=p−s になり、各格子点に対して c は a+j+1 通りある。対角線上の重み付き格子点数として (2) を求め、(3) は正方形全体の二重和で出す。

解答

(1)
w=−q は a+b=p と同値であり、範囲条件から a=p,b=0 に限る。c=0,1,…,p なので p+1 通りである。同様に w=p は a+b=−q と同値であり、a=0,b=−q に限るから c=−q,−q+1,…,0 の q+1 通りである。

(2)
p=q とし、j=−b とおく。すると0≦a≦p,0≦j≦p,w=j−aである。また固定した (a,j) に対し、−j≦c≦a だから c はa+j+1通りある。

w=−p+s はa−j=p−sと同値である。s<0 または s>2p なら正方形内に格子点はない。

0≦s≦p のとき、対角線上の格子点は(a,j)=(p−s+k,k)(k=0,1,…,s)である。各点の c の個数は p−s+2k+1 だから、総数は∑k=0s(p−s+2k+1)=(s+1)(p+1).p≦s≦2p のとき、h=s−p とおけば格子点は(a,j)=(k,k+h)(k=0,1,…,p−h)である。よって総数は∑k=0p−h(2k+h+1)=(p−h+1)(p+1)=(2p−s+1)(p+1).したがって{0(s<0),(s+1)(p+1)(0≦s≦p),(2p−s+1)(p+1)(p≦s≦2p),0(s>2p)である。

条件 a−j=p−s は、正方形内を横切る傾き1の対角線になる。

(3)
正方形内のすべての (a,j) を直接動かすと、総数は∑a=0p∑j=0p(a+j+1)=(p+1)∑a=0pa+(p+1)∑j=0pj+(p+1)2=(p+1)3.

総評

文系第3問を全範囲の s と総数まで拡張した問題である。目安時間は22分。w が a+b だけで決まること、固定した a,b に対して c が a−b+1 通りあることが軸になる。(2) は 0≦s≦p と p≦s≦2p で a の動く範囲が変わるため、境界を丁寧に書く必要がある。(3) では s=p の二重計上に注意する。総数については直接二重和で数える別解も短く、検算として有効である。

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出典: 東京大学 2011年度 第2次学力試験 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。