東京大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

円周に向きを1つ定め、その向きに沿って点を順に見る。隣り合う2点の色が異なる弧は、次の2種類に分けられる。 $\text{赤から青へ変わる弧},\text{青から赤へ変わる弧}$ 円周を一周すると、最後には出発点の色に戻る。したがって、赤から青へ変わったまま戻らないということはなく、赤から青へ変わる回数と青から赤へ変わる回数は必ず等しい。

この共通の回数を $k$ とする。すると、両端の色が異なる弧の数は $k+k=2k$ である。これは2の倍数であるから、求める弧の数は偶数である。

円周上の色の切り替わり

赤を $+1$、青を $-1$ と符号化する。隣り合う符号の比を円周全体で掛けると1になり、色が変わる弧だけが因子 $-1$ を与える。

円周上の点を順に $1,2,\dots ,m+n$ とし、点 $j$ の色に応じて$${\epsilon }_j=\{\begin{array}{ll}1& \text{赤},\\ -1& \text{青}\end{array}$$とおく。ただし $${\epsilon }_{m+n+1}={\epsilon }_1$$ とする。

弧 $j$ の両端の色が同じなら$${\displaystyle \frac{{\epsilon }_{j+1}}{{\epsilon }_j}}=1,$$異なればこの比は $-1$ である。一方、円周を一周してすべての比を掛けると$${\displaystyle \frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}}{\displaystyle \frac{{\epsilon }_3}{{\epsilon }_2}}\cdots {\displaystyle \frac{{\epsilon }_{m+n+1}}{{\epsilon }_{m+n}}}={\displaystyle \frac{{\epsilon }_{m+n+1}}{{\epsilon }_1}}=1.$$異色の弧の本数を $r$ とすれば左辺は $(-1{)}^r$ だから$$(-1{)}^r=1.$$従って $r$ は偶数である。