Evolton
方針
選んだ点を含まない行数を 、列数を とする。(1)は の3場合に分け、残った格子の全行・全列を使うように数える。(2)は行・列の点数分布がともに になることを使う。
解答
4本の横線を「行」、4本の縦線を「列」と呼ぶ。
(1)
空の行数を 、空の列数を とすると のとき、使う2行の選び方は 通りである。残る 格子で全4列を使って5点を選ぶには、1列に2点、他の3列に1点ずつ置く。2点を置く列は4通り、他の3列では上下を選べるので通りである。対称性から も192通りである。
のとき、空の1行と1列の選び方は 通りである。残る 格子から5点を選び、3行3列をすべて使う。全体は 通りで、さらに空になる1行を指定した選び方は 通り、空になる1列についても同様である。2本以上がさらに空なら残る点は高々4個なので、5点を選べない。よってしたがってこの場合は 通りである。合計は(2)
5点で4行をすべて使うから、行ごとの点数分布は である。列についても同じである。2点を含む行を 、2点を含む列を とすると、その選び方は通りである。
交点 を選ぶ場合、 上のもう1点の列が3通り、 上のもう1点の行が3通りである。残る2行と2列を1対1に対応させる方法が2通りなので通りである。
交点 を選ばない場合、 上で使う2列の選び方と 上で使う2行の選び方がそれぞれ 通りである。最後の点の位置は一意に決まるから通りである。よって以上より、答えは
別解
解法2（包除原理で使用行・使用列を数える方法）
方針
格子から5点を選び、全 行・全 列を使う個数を包除原理で求める。(1)は使用行数と使用列数が の場合を足し、(2)は8本の行・列が空になる事象に直接包除原理を適用する。
解答
(1)
空の直線が2本なら、使用する行数と列数の組はのいずれかである。
格子では5点を選べば2行は自動的に使われる。全4列を使わない選び方を除くと 格子では、1行または1列を空にする選び方を除けばよい。2本以上をさらに空にすると残る点が4個以下になるので、補正項はない。よって使用する行と列の選び方も掛けると(2)
16点から5点を選ぶ全選択は 通りである。8本の行・列のいずれかが空になる事象に包除原理を用いる。
1本を空にすると残り12点なので、1次の項は2本を空にする場合、同方向の2本なら残り8点で、その組は
組、行と列を1本ずつなら残り9点で16組ある。3本では、同方向2本と他方向1本の場合だけ5点を選べ、残り6点、その組は組である。4本以上を空にすると残る交点は高々4個なので寄与しない。
したがって求める個数は
総評
難度5、計算量5。想定時間は22分程度。行と列を同時に管理する問題で、残った格子から自由に5点を選ぶだけでは追加の空行・空列を数え落とす。(1)は空行数と空列数の和が2となる3場合、(2)は行・列の分布がともに になることが整理の鍵である。包除原理では、2本・3本を空にしたときに残る格子の大きさを毎回確認する。