与式を固定した x に対する y の2次方程式とみる。最高次係数は 3>0 なので、ある実数 y が存在する条件は判別式が0以上であることと一致する。この判別式を x だけの2次不等式に直し、得られる閉区間の右端を求める。最後に判別式が0になる端点でも実数 y が存在することを確認し、最大値が単なる上限ではなく実際に達成されることまで押さえる。
解答
与えられた方程式を y について整理すると 3y2+(4x+5)y+2x2+4x−4=0 である。ここで x を固定して考える。実数 y が存在するための必要十分条件は、この2次方程式の判別式が0以上であることである。判別式を計算すると Δ=(4x+5)2−4⋅3(2x2+4x−4) であり、展開して Δ=16x2+40x+25−24x2−48x+48=−8x2−8x+73 となる。したがって条件は −8x2−8x+73≧0 すなわち 8x2+8x−73≦0 である。
この2次方程式 8x2+8x−73=0 の解はx=16−8±82+4⋅8⋅73=16−8±206=4−2±56である。よって実数 y が存在する x の範囲は 4−2−56≦x≦4−2+56 である。
右端では判別式が0であり、そのとき y=−64x+5 が実数として定まるので、右端の x は実際にとられる。したがって x のとりうる最大値は 456−2 である。
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