東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$s=\sqrt{a^2+1}$$とおく。$0\leqq a\leqq 1$ より $1\leqq s\leqq \sqrt{2}$ であり、$a^2=s^2-1$ である。点 $A$ は $(a,s)$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{A}^2}& {\displaystyle =a^2+(s+\sqrt{2}{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s^2-1+s^2+2\sqrt{2}s+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\sqrt{2}s+1{)}^2,}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{Q}^2}& {\displaystyle =a^2+(s-\sqrt{2}{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s^2-1+s^2-2\sqrt{2}s+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\sqrt{2}s-1{)}^2}\end{array}$$である。$\sqrt{2}s-1>0$ だから$$PA=\sqrt{2}s+1,AQ=\sqrt{2}s-1.$$したがって$$PA-AQ=2$$であり、これは $a$ によらない。

(2)
放物線は$$x^2=4\sqrt{2}y$$と書けるので、焦点は $Q(0,\sqrt{2})$、準線は $y=-\sqrt{2}$ である。

先に点の順序を確認する。半直線 $QA$ 上の点を$$X(\lambda )=Q+\lambda (A-Q)=(\lambda a,\sqrt{2}+\lambda (s-\sqrt{2}))(\lambda \geqq 0)$$と表す。$X(\lambda )$ の $y$ 座標から放物線の $y$ 座標を引いたものを$$\varphi (\lambda )=\sqrt{2}+\lambda (s-\sqrt{2})-\frac{\sqrt{2}}{8}{a}^2{\lambda }^2$$とおく。$a>0$ なら ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(\lambda )<0$（$a=1,\lambda =0$ の一点を除く）であり、$$\varphi (1)=s-\frac{\sqrt{2}}{8}{a}^2\geqq 1-\frac{\sqrt{2}}{8}>0,\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (\lambda )=-\mathrm{\infty }$$である。よって放物線との交点はただ1つで、そのパラメータは $\lambda >1$ である。$a=0$ のときも $$\varphi (\lambda )=\sqrt{2}+\lambda (1-\sqrt{2})$$ だから、零点は $\lambda >1$ である。したがって $Q,A,B$ はこの順に並び、$$AB=QB-AQ$$である。

点 $B$ の $y$ 座標を $y_B$ とする。半直線は $Q$ から下向きで、$B$ は $A$ より先にあるから$$y_B\leqq s\leqq \sqrt{2}<2.$$ゆえに $BC=2-y_B$ である。一方、放物線の焦点・準線の性質より$$QB=y_B+\sqrt{2}\mathrm{.}$$以上と (1) を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle PA+AB+BC}& {\displaystyle =PA+(QB-AQ)+(2-y_B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(PA-AQ)+(y_B+\sqrt{2})+(2-y_B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+\sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、この長さの和も $a$ によらず$$4+\sqrt{2}$$である。

図は $0<a<1$ の模式図である。半直線上の順序は $Q,A,B$ であり、$B$ は直線 $y=2$ より下にある。