東京大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

直線 $AB$ の方程式は $x+y=1$ である。点 $C(t,0)$ から見て $$\overrightarrow{CO}=(-t,0),\overrightarrow{CA}=(-t,1)$$ であるから、左向きの水平線 $CO$ と $CA$ のなす角について $$\tan \mathrm{\angle }ACO=\frac{1}{t}$$ である。

また $$\overrightarrow{CB}=(1-t,0)$$ は右向きの水平線である。条件 $\mathrm{\angle }ACO=\mathrm{\angle }BCD$ より、直線 $CD$ は右向きの水平線から角 $\mathrm{\angle }ACO$ だけ上がる直線であるから、その傾きは $\frac{1}{t}$ である。したがって直線 $CD$ は $$y=\frac{x-t}{t}$$ と書ける。

これを $x+y=1$ と連立すると $$x+\frac{x-t}{t}=1$$ であり、両辺に $t$ を掛けて $(1+t)x=2t$ を得る。
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したがって $D(\frac{2t}{1+t},\frac{1-t}{1+t})$ を得る。

角条件と各点の位置関係は、例えば次の図のようになる。

ここで $0<t<1$ より $0<2t\mathrm{/}(1+t)<1$、$0<(1-t)\mathrm{/}(1+t)<1$ なので、確かに $D$ は線分 $AB$ 上にある。

三角形 $ACD$ の面積を $S(t)$ とする。$$\overrightarrow{AC}=(t,-1),\overrightarrow{AD}=(\frac{2t}{1+t},-\frac{2t}{1+t})$$であるから$$S(t)=\frac{1}{2}\mid t(-\frac{2t}{1+t})-(-1)\frac{2t}{1+t}\mid$$である。したがって $$S(t)=\frac{t(1-t)}{1+t}(0<t<1)$$ となる。

微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{(1-2t)(1+t)-(t-t^2)}{(1+t{)}^2}=\frac{1-2t-t^2}{(1+t{)}^2}$$ である。分母は正なので、符号は $1-2t-t^2=2-(t+1{)}^2$ で決まる。$0<t<1$ で $S^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ となるのは $t=\sqrt{2}-1$ のときだけである。また $0<t<\sqrt{2}-1$ で $S^{\mathrm{\prime }}(t)>0$、$\sqrt{2}-1<t<1$ で $S^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ である。

さらに $t\to 0+$、$t\to 1-$ では $S(t)\to 0$ であるから、最大は $t=\sqrt{2}-1$ でとる。このとき $$S(\sqrt{2}-1)=\frac{(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})}{\sqrt{2}}$$ であり、分子を整理すると $$(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})=3\sqrt{2}-4$$ なので $S(\sqrt{2}-1)=3-2\sqrt{2}$ である。したがって求める最大値は $3-2\sqrt{2}$ である。