東京大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
直線 $y=a(x+1)$ は $ax-y+a=0$ と書ける。円 $C$ の中心は $P(0,1)$ で半径は1である。点 $P$ からこの直線までの距離を $d$ とすると $$d=\frac{\mathrm{\mid }a\cdot 0-1+a\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{1-a}{\sqrt{1+a^2}}$$ である。ここで $0<a<1$ より $1-a>0$ を用いた。

直線と円の交点 $Q,R$ を結ぶ線分は円の弦である。半径1の円で、中心から弦までの距離が $d$ であるから、弦の半分の長さは $\sqrt{1-d^2}$ である。したがって $$QR=2\sqrt{1-d^2}$$ である。ここで$$1-d^2=1-\frac{(1-a{)}^2}{1+a^2}=\frac{1+a^2-(1-2a+a^2)}{1+a^2}=\frac{2a}{1+a^2}$$であるから $$QR=2\sqrt{\frac{2a}{1+a^2}}$$ となる。 $\mathrm{△}PQR$ の底辺を $QR$ とみると、高さは中心 $P$ から直線 $QR$ までの距離 $d$ である。よって$$S(a)=\frac{1}{2}\cdot QR\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{\frac{2a}{1+a^2}}\cdot \frac{1-a}{\sqrt{1+a^2}}$$である。したがって $$S(a)=\frac{(1-a)\sqrt{2a}}{1+a^2}$$ である。

(2) $0<a<1$ では $S(a)>0$ なので、$S(a)$ を最大にする $a$ は $S(a{)}^2$ を最大にする $a$ と同じである。 $$S(a{)}^2=\frac{2a(1-a{)}^2}{(1+a^2{)}^2}$$ とおく。これを微分すると $$\frac{d}{da}S(a{)}^2=\frac{-2(a-1)(a+1)(a^2-4a+1)}{(1+a^2{)}^3}$$ である。$0<a<1$ では分母は正、また $a+1>0$、$a-1<0$ である。したがって符号は $a^2-4a+1$ の符号で決まる。

方程式 $a^2-4a+1=0$ の解は $a=2\pm \sqrt{3}$ である。このうち $0<a<1$ に入るのは $a=2-\sqrt{3}$ だけである。また $a^2-4a+1$ は $0<a<2-\sqrt{3}$ で正、$2-\sqrt{3}<a<1$ で負であるから、$S(a{)}^2$ は前半で増加し後半で減少する。

したがって $S(a)$ が最大となるのは $a=2-\sqrt{3}$ である。

円の中心 $P$ から弦 $QR$ へ下ろした垂線の長さが高さ $d$ であり、弦の半分と半径で直角三角形ができる。

直線を円の式へ代入し、交点 $Q,R$ の $x$ 座標を2次方程式の2解として扱う。解の差から弦長を求め、中心から直線までの距離を高さとして面積を出す。最大化では $\log S(a)$ を微分し、積の形の微分を短く処理する。

(1)
円 $C$ の方程式は$$x^2+(y-1{)}^2=1$$である。直線 $y=a(x+1)$ を代入すると、交点の $x$ 座標は$$(1+a^2)x^2+2a(a-1)x+a^2-2a=0$$の2解となる。この2解を $q<r$ とする。判別式を整理すると$$D=8a$$だから$$r-q=\frac{\sqrt{D}}{1+a^2}=\frac{2\sqrt{2a}}{1+a^2}\mathrm{.}$$直線の方向ベクトルは $(1,a)$ なので$$QR=\sqrt{1+a^2}(r-q)=\frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{1+a^2}}\mathrm{.}$$また、中心 $P(0,1)$ から直線 $ax-y+a=0$ までの距離は$$d=\frac{1-a}{\sqrt{1+a^2}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}QR\cdot d}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(1-a)\sqrt{2a}}{1+a^2}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$0<a<1$ では $S(a)>0$ なので、$\log S(a)$ を微分してよい。$$\log S(a)=\log (1-a)+\frac{1}{2}\log (2a)-\log (1+a^2)$$より$$\frac{S^{\mathrm{\prime }}(a)}{S(a)}=-\frac{1}{1-a}+\frac{1}{2a}-\frac{2a}{1+a^2}=\frac{a^2-4a+1}{2a(1-a)(1+a^2)}\mathrm{.}$$分母は正であり、分子の零点は $2\pm \sqrt{3}$ である。このうち区間 $0<a<1$ に入るのは$$a=2-\sqrt{3}$$だけである。分子はその前で正、その後で負なので、$S(a)$ はそこで最大となる。