東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
$n$ 回目に $A$ が勝つには、$n-1$ 回目までに $A$ が1点、$B$ が0点または1点であり、コインを $A$ が持っていなければならない。そして $n$ 回目に表が出る。

$n-1$ 回目までに裏が $2r$ 回出たとする。裏の個数が偶数なので、最後の持ち主は $A$ である。裏で持ち主が交代するため、$A$ が持つ区間は $r+1$ 個、$B$ が持つ区間は $r$ 個ある。

$B$ の表が0回なら、$A$ の表1回を $r+1$ 個の区間のどこに置くかを選ぶので、列は $r+1$ 通りである。このとき $n-1=2r+1$、すなわち $n$ は偶数であり、列の個数は $n\mathrm{/}2$ である。

$B$ の表が1回なら、$A$ の区間を $r+1$ 通り、$B$ の区間を $r$ 通りに選ぶので、列は $r(r+1)$ 通りである。このとき $n-1=2r+2$、すなわち $n$ は奇数であり、$$r=\frac{n-3}{2},r+1=\frac{n-1}{2}\mathrm{.}$$最後の表まで含めた各列の確率は $2^{-n}$ だから$$p(n)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{n}{2^{n+1}}}& (n\text{ が偶数}),\\ {\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}}}& (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。奇数の式は $n=1,3$ でも0となり、実際の事象と一致する。

(2)
偶数 $n=2k$ の項は$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}p(2k)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2k}{2^{2k+1}}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{4^k}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }<1$ での等比級数を微分すると$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{r}^k=\frac{r}{(1-r{)}^2}$$だから、$r=1\mathrm{/}4$ を代入して$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}p(2k)=\frac{4}{9}\mathrm{.}$$奇数 $n=2k+1$ の項は$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}p(2k+1)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k)(2k-2)}{2^{2k+3}}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k(k-1)}{4^k}\mathrm{.}$$さらに$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)r^k=\frac{2r^2}{(1-r{)}^3}$$を用いると$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}p(2k+1)=\frac{4}{27}\mathrm{.}$$したがって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}p(n)=\frac{4}{9}+\frac{4}{27}=\frac{16}{27}\mathrm{.}$$

$\sum p(n)$ は、ゲームがいつ終わるかを問わず最終的に $A$ が勝つ確率である。得点が $i,j\in \{0,1\}$ のとき、持ち主が $A$ の状態からの勝率を $A_{ij}$、持ち主が $B$ の状態からの勝率を $B_{ij}$ とする。次の1投で表・裏が出る2場合に分けて連立方程式を作り、終局に近い $(1,1)$ から $(1,0),(0,1),(0,0)$ の順に戻す。

(1)
(1) の時刻別確率は解法1の数え上げで求める。ここでは、(2) の総和だけを最終勝率として独立に求める。

(2) 別解$$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}p(n)$$は、最終的に $A$ が勝つ確率である。得点が $(i,j)$ で、$A$ がコインを持つ状態からの $A$ の勝率を $A_{ij}$、$B$ が持つ状態からの勝率を $B_{ij}$ とする。表なら持ち主が得点し、裏なら持ち主だけが交代するので$$A_{ij}=\frac{1}{2}{A}_{i+1,j}+\frac{1}{2}{B}_{ij},B_{ij}=\frac{1}{2}{B}_{i,j+1}+\frac{1}{2}{A}_{ij}$$である。ただし $A$ が2点なら勝率1、$B$ が2点なら勝率0とする。

まず得点 $(1,1)$ では$$A_{11}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{B}_{11},B_{11}=\frac{1}{2}{A}_{11},$$よって$$A_{11}=\frac{2}{3},B_{11}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$得点 $(1,0)$ では$$A_{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{B}_{10},B_{10}=\frac{1}{2}{B}_{11}+\frac{1}{2}{A}_{10},$$より$$A_{10}=\frac{7}{9},B_{10}=\frac{5}{9}\mathrm{.}$$得点 $(0,1)$ では$$A_{01}=\frac{1}{2}{A}_{11}+\frac{1}{2}{B}_{01},B_{01}=\frac{1}{2}{A}_{01},$$より$$A_{01}=\frac{4}{9},B_{01}=\frac{2}{9}\mathrm{.}$$最後に初期得点 $(0,0)$ では$$A_{00}=\frac{1}{2}{A}_{10}+\frac{1}{2}{B}_{00},B_{00}=\frac{1}{2}{B}_{01}+\frac{1}{2}{A}_{00}\mathrm{.}$$先ほどの値を代入して解くと$$A_{00}=\frac{16}{27}\mathrm{.}$$初期状態は $A$ がコインを持つ得点 $(0,0)$ だから$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}p(n)=A_{00}=\frac{16}{27}\mathrm{.}$$