東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

共有点は$$\frac{\cos x}{x}=\sin x+ax$$を満たす $x>0$ に対応する。これを $a$ について解いて$$a=F(x),F(x)=\frac{\cos x-x\sin x}{x^2}$$を得る。よって、曲線 $y=F(x)$ と水平線 $y=a$ の交点数を数えればよい。

微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\frac{(-2\sin x-x\cos x)x^2-2x(\cos x-x\sin x)}{x^4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{(x^2+2)\cos x}{x^3}\mathrm{.}}\end{array}$$$x>0$ では $(x^2+2)\mathrm{/}{x}^3>0$ なので、$F^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $-\cos x$ の符号で決まる。

極値は$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k=0,1,2,\dots )$$で生じる。$m=0,1,2,\dots$ とすると、極小値は$$F\left(\frac{(4m+1)\pi }{2}\right)=-\frac{2}{(4m+1)\pi },$$極大値は$$F\left(\frac{(4m+3)\pi }{2}\right)=\frac{2}{(4m+3)\pi }$$である。また$$\underset{x\to +0}{\lim }F(x)=+\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0.$$$a>0$ の場合

区間 $(0,\pi \mathrm{/}2)$ では $F$ は $+\mathrm{\infty }$ から $-2\mathrm{/}\pi$ まで減少するので、交点は常に1つある。正の極大値は$$\frac{2}{3\pi },\frac{2}{7\pi },\frac{2}{11\pi },\dots$$と小さくなる。したがって最初の正の山では水平線が2点で交わり、2番目以降の正の山では交わらない条件は$$\frac{2}{7\pi }<a<\frac{2}{3\pi }\mathrm{.}$$このとき交点数は $1+2=3$ である。上端では最初の山が接点1つになるので2点、下端では次の山にも接点1つが加わって4点となり、いずれも除く。

$a<0$ の場合

$-2\mathrm{/}\pi <a<0$ なら、最初の極小点の前後に2つの交点がある。その後の負の極小値は$$-\frac{2}{5\pi },-\frac{2}{9\pi },-\frac{2}{13\pi },\dots$$と0に近づく。交点をちょうど1つだけ追加するには、2番目の谷で接すればよい。したがって$$a=-\frac{2}{5\pi }\mathrm{.}$$これより大きい負数では後続の谷でも交点が増え、これより小さい負数では合計3点にならない。

$a=0$ では振動する各枝に交点があり、3点ではない。以上より$$a=-\frac{2}{5\pi }\text{または}\frac{2}{7\pi }<a<\frac{2}{3\pi }$$である。

極値の絶対値は右へ進むほど小さくなる。正の水平線では山を、負の水平線では谷を数える。