東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$\mathit{u}=\frac{\overrightarrow{PA}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PA}\mathrm{\mid }},\mathit{v}=\frac{\overrightarrow{PB}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PB}\mathrm{\mid }},\mathit{w}=\frac{\overrightarrow{PC}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PC}\mathrm{\mid }}$$とおく。これらはいずれも長さ $1$ のベクトルであり、条件より $$\mathit{u}+\mathit{v}+\mathit{w}=\overrightarrow{0}$$ である。したがって $$\mathit{u}+\mathit{v}=-\mathit{w}$$ であり、両辺の長さの二乗を比べると $$\mathrm{\mid }\mathit{u}+\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\mathit{w}{\mathrm{\mid }}^2=1$$ である。左辺は$$\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2+2\mathit{u}\cdot \mathit{v}=2+2\mathit{u}\cdot \mathit{v}$$なので $$\mathit{u}\cdot \mathit{v}=-\frac{1}{2}$$ である。よって $\mathit{u}$ と $\mathit{v}$ のなす角は ${120}^{\circ }$ である。同様に他の2組も ${120}^{\circ }$ をなす。したがって $$\mathrm{\angle }APB={120}^{\circ },\mathrm{\angle }APC={120}^{\circ }$$ である。

(2) $$PA=x,PB=y,PC=z$$ とおく。$$\mathrm{\angle }APB=\mathrm{\angle }APC=\mathrm{\angle }BPC={120}^{\circ }$$ であり、$AB=1$、$AC=\sqrt{3}$、$BC=2$ である。余弦定理より $$x^2+y^2-2xy\cos {120}^{\circ }=1$$ すなわち $x^2+y^2+xy=1$ である。同様に $$x^2+z^2+xz=3,y^2+z^2+yz=4$$ である。

3式の差をとる。第3式から第2式を引くと $y^2-x^2+z(y-x)=1$ であり、$(y-x)(x+y+z)=1$ である。また第2式から第1式を引くと $z^2-y^2+x(z-y)=2$ より $(z-y)(x+y+z)=2$ である。 $S=x+y+z$ とおくと $$y=x+\frac{1}{S},z=y+\frac{2}{S}=x+\frac{3}{S}$$ である。したがって $S=x+y+z=3x+\frac{4}{S}$ より $$x=\frac{S^2-4}{3S},y=\frac{S^2-1}{3S}$$ である。これを $x^2+y^2+xy=1$ に代入すると $S^4-8S^2+7=0$ である。$S>0$ であり、$x>0$ も必要なので $S^2=1$ は不適、よって $S^2=7$ である。

したがって $S=\sqrt{7}$ であり、$x:y:z=1:2:4$ である。ゆえに$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PA}\mathrm{\mid }=\frac{\sqrt{7}}{7},\mathrm{\mid }\overrightarrow{PB}\mathrm{\mid }=\frac{2\sqrt{7}}{7},\mathrm{\mid }\overrightarrow{PC}\mathrm{\mid }=\frac{4\sqrt{7}}{7}\mathrm{.}$$3本の青い単位方向ベクトルの和が $0$ になるため、点 $P$ のまわりの3角はすべて ${120}^{\circ }$ になる。