東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $3^n$を10で割った余りは $3,9,7,1$ を周期4で繰り返す。したがって$$a_n=\{\begin{array}{ll}3& (n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)),\\ 9& (n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)),\\ 7& (n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)),\\ 1& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4))\end{array}$$である。

(2) $3\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$なので $3^n\equiv (-1{)}^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。よって$$b_n=\{\begin{array}{ll}3& (n\text{が奇数}),\\ 1& (n\text{が偶数})\end{array}$$である。

(3)
まず $$x_1=1,x_2=3^{x_1}=3$$ である。ここで，$n\geqq 2$に対して $x_n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ であることを示す。$n=2$では$x_2=3$なので成り立つ。もし$x_n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$なら，特に$x_n$は奇数である。(2)より，奇数乗の$3^{x_n}$は4で割って3余るから $$x_{n+1}=3^{x_n}\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$ である。したがって帰納法により $x_n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)(n\geqq 2)$ である。

特に $x_9\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。よって $x_{10}=3^{x_9}$ を10で割った余りは，(1)の周期4で指数が3に当たる場合だから $7$ である。

別解。 $x_n$を実際に計算する必要はない。10で割った余りを見るには指数を4で割った余りだけが必要であり，その指数$x_9$の4での余りは(2)で決まる。このように，外側の法を調べるために内側の指数を別の法で見るのが本問の構造である。

余りの表を長く追わず，$3^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$と$3^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$から周期を確定する。(3)ではすべての$x_n$が奇数であることを先に使い，$n\geqq 2$で$x_n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$を一段で導いて，最後に10での周期へ戻す。

(1) $3^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$であり，$3,3^2,3^3,3^4$の余りは順に$3,9,7,1$である。したがって$$a_n=\{\begin{array}{ll}3& (n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)),\\ 9& (n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)),\\ 7& (n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)),\\ 1& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4))\mathrm{.}\end{array}$$(2) $3\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$より$$b_n=\{\begin{array}{ll}3& (n\text{が奇数}),\\ 1& (n\text{が偶数})\mathrm{.}\end{array}$$(3) $x_1=1$は奇数であり，3の累乗は常に奇数なので，すべての$x_n$は奇数である。したがって$n\geqq 1$に対して$$x_{n+1}=3^{x_n}\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}$$特に$x_9\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$である。(1)の周期4へ戻ると$$x_{10}=3^{x_9}\equiv 3^3\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)\mathrm{.}$$よって求める余りは$7$である。