東大 2012年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

(1) は連続する2整数が互いに素であることを使う。互いに素な2数の積が $n$ 乗数なら、それぞれの素因数の指数が $n$ の倍数になるため、各因数自身も $n$ 乗数である。しかし正の $n$ 乗数が1だけ違うことはない。(2)は背理法で、連続する $n$ 個の積を $a^{n}$ とおく。積の大きさから $k < a < k + n - 1$ を導き、 $a + 1$ がその連続する $n$ 個の中に含まれることを利用する。 $a + 1$ の素因数は左辺の積を割るので $a^{n}$ を割り、結局 $a$ も割ることになって互いに素性に矛盾する。

解答

(1)
連続する2個の自然数を $k, k + 1$ とする。この2数は互いに素である。

仮に $k (k + 1) = a^{n}$ となる自然数 $a$ が存在するとする。 $k$ と $k + 1$ は互いに素なので、素因数分解において $k$ に現れる素数と $k + 1$ に現れる素数は重ならない。積 $k (k + 1)$ が $n$ 乗数なら、各素数の指数はすべて $n$ の倍数であるから、 $k$ と $k + 1$ はそれぞれ $n$ 乗数でなければならない。

したがって $k = u^{n}, k + 1 = v^{n}$ と書ける。すると $v > u ≧ 1$ であり、 $v^{n} - u^{n} ≧ (u + 1)^{n} - u^{n}$ である。 $n ≧ 2$ だから $(u + 1)^{n} - u^{n} > 1$ である。一方、 $v^{n} - u^{n} = (k + 1) - k = 1$ なので矛盾する。よって連続する2個の自然数の積は $n$ 乗数ではない。

(2) $n = 2$ のときは(1)そのものである。以下では $n ≧ 3$ とする。

連続する $n$ 個の自然数を $k, k + 1, \dots, k + n - 1$ とし、その積が $n$ 乗数であると仮定する。すなわち $k (k + 1) \dots (k + n - 1) = a^{n}$ となる自然数 $a$ が存在するとする。

左辺の各因数は $k$ 以上であり、しかも $k + 1$ 以上の因数も含むので $k^{n} < a^{n}$ である。したがって $k < a$ である。また、各因数は $k + n - 1$ 以下であり、しかも $k + n - 2$ 以下の因数も含むので $a^{n} < (k + n - 1)^{n}$ である。したがって $a < k + n - 1$ である。以上より $k < a < k + n - 1$ を得る。 $a$ は整数で $n ≧ 3$ だから $k + 1 ≦ a ≦ k + n - 2$ である。よって $a + 1 \in {k, k + 1, \dots, k + n - 1}$ である。

ここで $a + 1 > 1$ なので、 $a + 1$ はある素数 $p$ で割り切れる。この $a + 1$ は左辺の因数の1つであるから、 $p$ は左辺 $k (k + 1) \dots (k + n - 1)$ を割る。ところが左辺は $a^{n}$ に等しいので、 $p$ は $a^{n}$ を割り、したがって $a$ を割る。

一方、 $p$ は $a + 1$ も割るので、 $p$ は $(a + 1) - a = 1$ を割ることになる。これは素数 $p$ について不可能である。よって仮定は誤りであり、連続する $n$ 個の自然数の積は $n$ 乗数ではない。

総評

難度6、目安時間14分。計算は少ないが、整数論証の組み立てが必要な問題である。(1)では互いに素な因数の積が $n$ 乗数なら各因数も $n$ 乗数になる、という素因数分解の根拠を省略しすぎないこと。(2)では $a^{n}$ と置いた後、大小評価から $k < a < k + n - 1$ を作るのが決定打で、そこから $a + 1$ が連続する因数の中に現れる。最後の素数 $p$ による矛盾は短いが、 $p ∣ a^{n} \Rightarrow p ∣ a$ まで明記したい。

出典: 東京大学 2012年度第2次学力試験数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

方針

解答

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東京大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系数学第4問