東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$(x+y-1)(x+y)(x+y+1)=(x+y{)}^3-(x+y)$$である。展開すると$$(x+y-1)(x+y)(x+y+1)=x^3+3y{x}^2+(3y^2-1)x+y^3-y\mathrm{.}$$左側の不等式は$$(3y^2-1)x+y^3-y>0$$と同値である。$y$ は自然数なので $3y^2-1>0$, $y^3-y\geqq 0$ であり、これはすべての $x>0$ で成り立つ。

右側の不等式は$$x^2-(3y^2-1)x-(y^3-y)>0$$と同値である。
この二次式の2解のうち大きい方は$$\frac{3y^2-1+\sqrt{(3y^2-1{)}^2+4(y^3-y)}}{2}$$である。もう一方の解は0以下なので、$x>0$ のもとで求める範囲は$$x>\frac{3y^2-1+\sqrt{9y^4+4y^3-6y^2-4y+1}}{2}\mathrm{.}$$(2)
99個の1が並ぶ整数を$$R=\underset{99\text{桁}}{\underbrace{111\cdots 111}}$$とする。各位の和が99なので $R$ は3の倍数である。そこで自然数$$y=\frac{R}{3}$$をとる。

(1) の下限を超えるように十分大きい自然数 $N$ を選び、さらに $N\geqq 100$ として$$x={10}^N$$とおく。そして$$A=({10}^N+y-1)({10}^N+y)({10}^N+y+1)$$と定める。これは連続する3つの自然数の積である。

(1) と $3y=R$ より$${10}^{3N}+R{10}^{2N}<A<{10}^{3N}+(R+1){10}^{2N}\mathrm{.}$$両辺を ${10}^{2N}$ で割ると$${10}^N+R<\frac{A}{{10}^{2N}}<{10}^N+R+1.$$したがって$$\lfloor \frac{A}{{10}^{2N}}\rfloor ={10}^N+R\mathrm{.}$$$N>99$ なので、整数 ${10}^N+R$ の末尾99桁はすべて1である。この整数は $A$ の ${10}^{2N}$ の位以上の桁を切り出したものだから、$A$ の10進表示にも1が連続して99回現れる。よって $A$ は条件 (a), (b) をともに満たし、命題Pが証明された。