東京大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $d_n$ は $n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数である。したがって $d_n$ はそれらの整数係数の差も割るので $(5n^2+9)-5(n^2+1)=4$ より、$d_n$ は4の正の約数である。 $n$ が偶数のとき、$n^2$ は偶数であり、$n^2+1$ は奇数である。よって共通約数は偶数ではあり得ない。$d_n$ は4の約数だから $d_n=1$ である。 $n$ が奇数のとき、$n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ であるから $n^2+1\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),5n^2+9\equiv 5+9\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。両方とも2で割れるが4では割れない。$d_n$ は4の約数なので、この場合は $d_n=2$ である。

したがって$$d_n=\{\begin{array}{ll}1& (2\mid n),\\ 2& (2\nmid n)\end{array}$$である。

(2)
まず $n$ が偶数の場合を考える。(1)より $n^2+1$ と $5n^2+9$ は互いに素である。互いに素な2つの整数の積が平方数なら、それぞれの整数が平方数でなければならない。もし $(n^2+1)(5n^2+9)$ が平方数なら、特に $n^2+1$ は平方数である。しかし $n^2<n^2+1<(n+1{)}^2$ であり、$n^2+1$ は連続する平方数 $n^2$、$(n+1{)}^2$ の間にある。これは平方数であり得ない。

次に $n$ が奇数の場合を考える。 $$A=\frac{n^2+1}{2},B=\frac{5n^2+9}{2}$$ とおく。(1)で最大公約数が2であることから、$A$ と $B$ は互いに素である。

もし $(n^2+1)(5n^2+9)=4AB$ が平方数なら、4は平方数なので $AB$ も平方数である。さらに $A,B$ は互いに素だから、$A$ と $B$ はそれぞれ平方数でなければならない。

ところが、$n$ が奇数なら $n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ である。よって $$B=\frac{5n^2+9}{2}\equiv \frac{5+9}{2}\equiv 7\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$ である。平方数は4で割ると0または1にしかならないので、$B$ は平方数ではない。これは矛盾である。

以上より、すべての正の整数 $n$ について $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にならない。

最大公約数はユークリッドの互除法で4の約数に絞る。(2)は偶数 $n$ では互いに素な因子、奇数 $n$ では積そのものの16を法とする剰余を使う。

(1) $$d_n=\gcd (n^2+1,5n^2+9)=\gcd (n^2+1,4)\mathrm{.}$$$n$ が偶数なら $n^2+1$ は奇数なので $d_n=1$。$n$ が奇数なら $n^2+1\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ なので $d_n=2$。したがって$$d_n=\{\begin{array}{ll}1& (n\text{ が偶数}),\\ 2& (n\text{ が奇数})\mathrm{.}\end{array}$$(2)
$n$ が偶数なら2因子は互いに素である。積が平方数なら各因子が平方数になるが、$$n^2<n^2+1<(n+1{)}^2$$だから矛盾する。

$n$ が奇数なら $n^2\equiv 1$ または $9(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ である。どちらの場合も$$(n^2+1)(5n^2+9)\equiv 12(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)\mathrm{.}$$実際、$n^2\equiv 1$ なら $2\cdot 14\equiv 12$、$n^2\equiv 9$ なら $10\cdot 6\equiv 12(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}16)$ である。一方、平方数の16を法とする剰余は $0,1,4,9$ のいずれかなので、これも矛盾する。

よって、すべての正の整数 $n$ について与えられた積は平方数にならない。