東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
放物線$B:y=-x^2+px+q$が点$(-1,1)$を通るので $-1-p+q=1$ である。また，$A:y=x^2$の導関数は$2x$であり，$x=-1$での傾きは $-2$ である。$B$の導関数は $-2x+p$ なので，$x=-1$での傾きは $2+p$ である。接しているから $2+p=-2$ であり，$p=-4$ を得る。これを$-1-p+q=1$へ代入して $-1+4+q=1$ より $q=-2$ である。

(2)
(1)より $B:y=-x^2-4x-2$ である。これを$x$軸の正の向きに$2t$，$y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動する。移動後の放物線$C$は，移動前の式に$x-2t$，$y-t$を代入して $y-t=-(x-2t{)}^2-4(x-2t)-2$ である。したがって $$C:y=-x^2+(4t-4)x-4t^2+9t-2$$ である。 $A$と$C$の差を $$C-A=-2x^2+(4t-4)x-4t^2+9t-2$$ とおく。2つの放物線が領域を囲むには，この二次式が異なる2つの実数解をもち，その間で正になる必要がある。判別式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(4t-4{)}^2-4(-2)(-4t^2+9t-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8t(5-2t)}\end{array}$$である。$t>0$なので，$D>0$となるのは $0<t<\frac{5}{2}$ のときである。このときだけ囲む領域が存在し，それ以外では$S(t)=0$である。 $0<t<5\mathrm{/}2$とする。交点の$x$座標を$\alpha <\beta$とすると，根の差は $$\beta -\alpha =\frac{\sqrt{D}}{2}$$ である。また $$C-A=2(x-\alpha )(\beta -x)$$ なので，面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }2(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{D^{3\mathrm{/}2}}{24}}\end{array}$$である。$D=8t(5-2t)$を代入すると$$S(t)=\frac{1}{24}\{8t(5-2t){\}}^{3\mathrm{/}2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\{t(5-2t){\}}^{3\mathrm{/}2}$$である。

したがって$$S(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\{t(5-2t){\}}^{3\mathrm{/}2}& (0<t<{\displaystyle \frac{5}{2}}),\\ 0& (t\geqq {\displaystyle \frac{5}{2}})\end{array}$$である。

(3) $0<t<5\mathrm{/}2$においては，$S(t)$を最大にするには $t(5-2t)$ を最大にすればよい。平方完成すると $$t(5-2t)=-2{(t-\frac{5}{4})}^2+\frac{25}{8}$$ であるから，最大は $t=\frac{5}{4}$ のときで，最大値は$25\mathrm{/}8$である。

よって$S(t)$の最大値は $$\frac{2\sqrt{2}}{3}{\left(\frac{25}{8}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\frac{125}{24}$$ である。

別解。
(2)の面積は，交点を直接求めて積分してもよい。ただし根の差だけを使うと，交点の座標を長く書かずに済む。差の二次式が$2(x-\alpha )(\beta -x)$となることを確認すれば，標準積分$${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx=(\beta -\alpha {)}^3\mathrm{/}6$$で処理できる。

(1) は接点での値と傾きから$p,q$を決める。(2)では交点の判別式や根を先に求めず，平行移動後の$C-A$を頂点形式$H-2(x-t+1{)}^2$へ平方完成する。高さ$H=t(5-2t)$の正負で領域の有無を判定し，左右対称な積分で面積を出す。(3)は$H$を平方完成して最大化する。

(1) 接点$(-1,1)$を通る条件と傾きが等しい条件は$$-1-p+q=1,2+p=-2.$$したがって$p=-4,q=-2$である。

(2) 平行移動後の放物線$C$は$$y=-x^2+(4t-4)x-4t^2+9t-2.$$よって$C$の値から$A$の値を引いて平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C-A}& {\displaystyle =-2x^2+4(t-1)x-4t^2+9t-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t(5-2t)-2\{x-(t-1){\}}^2\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$H=t(5-2t)$とおく。領域を囲むのは$H>0$，すなわち$0<t<5\mathrm{/}2$のときに限る。このとき交点は中心$x=t-1$から左右に$\sqrt{H\mathrm{/}2}$だけ離れている。$u=x-(t-1)$と置換して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{H\mathrm{/}2}}^{\sqrt{H\mathrm{/}2}}(H-2u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\sqrt{2}}{3}{H}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\{t(5-2t){\}}^{3\mathrm{/}2}& (0<t<5\mathrm{/}2),\\ 0& (t\geqq 5\mathrm{/}2)\mathrm{.}\end{array}$$(3)$$H=t(5-2t)=-2{(t-\frac{5}{4})}^2+\frac{25}{8}$$だから，$t=5\mathrm{/}4$で最大となる。よって$$\max S(t)=\frac{2\sqrt{2}}{3}{\left(\frac{25}{8}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\frac{125}{24}\mathrm{.}$$