問題
，を実数とする。座標平面上の放物線
は放物線と2つの共有点を持ち，一方の共有点の座標はを満たし，他方の共有点の座標はを満たす。
(1) 点のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2) 放物線の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。
方針
解法1（根の位置から媒介表示する）
共有点の 座標は の2解である。(1) は の符号から係数領域を得る。(2) は2解を とおいて を表し，固定した に対する双一次式の上限・下限を長方形の4隅で比較する。係数領域と通過領域をともに図示し，境界を含まないことを破線で表す。
解法2（係数領域を直線で切る）
(1) で得た係数領域を利用する。(2) の条件を と見れば，右辺は開三角形上の一次関数であり，3頂点での値 の最小値と最大値の間を動く。
解答
解法1（根の位置から媒介表示する）
(1)
2つの放物線の共有点の 座標は
の解である。 は下に凸であるから， と に1解ずつもつことは
と同値である。よって
を得る。これは3点 を頂点とする三角形の内部であり，境界は含まない。
(2)
2解を とおくと
より
である。固定した に対し，放物線上の 座標は
となる。これは の双一次式なので，長方形 ， における上限・下限は4隅の値
の最大・最小である。端は許されないので，上限・下限はいずれも到達しない。比較すると通過領域は
である。
解法2（係数領域を直線で切る）
(1)
2根を とおくと であり， を得る。逆にこれらは を表す。したがって係数領域は解法1で求めた，3頂点 をもつ開三角形である。
(2)
点 を通る条件を と書く。固定した に対し，右辺は の一次関数であり，開三角形の3頂点での値は である。この見方では，固定した ごとに係数平面を平行な直線で切り，その直線が領域を横切るかどうかだけを調べればよい。三角形は凸かつ連結なので，一次関数 の値は最小の頂点値と最大の頂点値の間をすべて動く。ただし領域が開いているため両端の値は取らない。したがって直線が開三角形と交わるための必要十分条件は
である。
では ， では ， では ， では である。よって解法1に示した4つの不等式を得る。大小が等しくなる でも上の最小値・最大値の条件がそのまま使え，3本の境界曲線はすべて含まれない。