東京大学 2021年度文理共通数学文科第4問・理科第4問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) 正の奇数 $K$ ， $L$ と正の整数 $A$ ， $B$ が $K A = L B$ を満たしているとする。 $K$ を4で割った余りが $L$ を4で割った余りと等しいならば， $A$ を4で割った余りは $B$ を4で割った余りと等しいことを示せ。

(2) 正の整数 $a, b$ が $a > b$ を満たしているとする。このとき， $A =_{4 a + 1} C_{4 b + 1}$ ， $B =_{a} C_{b}$ に対して $K A = L B$ となるような正の奇数 $K$ ， $L$ が存在することを示せ。

(3) $a, b$ は(2)の通りとし，さらに $a - b$ が2で割り切れるとする。 $_{4 a + 1} C_{4 b + 1}$ を4で割った余りは $_{a} C_{b}$ を4で割った余りと等しいことを示せ。

(4) $_{2021} C_{37}$ を4で割った余りを求めよ。

出典：東京大学 2021年度前期日程第2次学力試験文理共通文科第4問・理科第4問

方針

(1) は奇数が4を法として逆元をもつことを使う。(2) は正整数 $M$ に含まれる2の個数を $ν (M)$ とし， $ν ((4 m)!) = 3 m + ν (m!)$ を用いて2つの二項係数に含まれる2の個数が等しいことを示す。(3) は階乗から2をすべて除いた奇数部分を4を法として比較する。 $a - b$ が偶数なら符号因子が打ち消し合う。(4) は(3)を2回適用する。

解答

(1)

仮定より

K A = L B, K \equiv L (mod 4)

である。奇数 $K$ は $K^{2} \equiv 1 (mod 4)$ を満たすので，4を法として逆元をもつ。したがって合同式 $K A \equiv L B (mod 4)$ の両辺に $K$ の逆元をかけ， $K \equiv L (mod 4)$ を用いれば

A \equiv B (mod 4)

を得る。

(2)

正整数 $M$ を割り切る2の最大の累乗の指数を $ν (M)$ と書く。 $(4 m)!$ では，2の倍数から少なくとも $2 m$ 個，4の倍数からさらに $m$ 個の2が現れ，4の倍数に残る追加分は $m!$ に含まれる2の個数と一致する。よって

ν ((4 m)!) = 3 m + ν (m!)

である。また $4 m + 1$ は奇数なので $ν ((4 m + 1)!) = ν ((4 m)!)$ である。

$n = a - b$ とおき，

A =_{4 a + 1} C_{4 b + 1}, B =_{a} C_{b}

とする。上の関係から

ν (A) = ν ((4 a + 1)!) - ν ((4 b + 1)!) - ν ((4 n)!) = {3 a + ν (a!)} - {3 b + ν (b!)} - {3 n + ν (n!)} = ν (B)

である。共通の値を $e$ とし

A = 2^{e} A_{0}, B = 2^{e} B_{0}

と書けば， $A_{0}, B_{0}$ は正の奇数である。そこで

K = B_{0}, L = A_{0}

とおけば， $K A = L B$ が成り立つ。

(3)

正整数 $m$ に対し， $m!$ から2の因子をすべて除いた奇数部分を $O_{m}$ とする。 $1, 2, \dots, 4 m$ を4個ずつに分けて奇数部分を比べる。

$4 j$ の奇数部分は $j$ の奇数部分であり， $4 j - 2$ の奇数部分は $2 j - 1$ である。また

(4 j - 3) (4 j - 1) \equiv - 1 (mod 4)

である。さらに $1, 3, 5, \dots, 2 m - 1$ のうち4で割って3余るものは $⌊ m /2 ⌋$ 個なので

O_{4 m} \equiv O_{4 m + 1} \equiv (- 1)^{m + ⌊ m /2 ⌋} O_{m} (mod 4)

となる。ここで

ε_{m} = (- 1)^{m + ⌊ m /2 ⌋}

とおく。

二項係数から2の因子を除いた奇数部分を比較すると，(2)で得た $A_{0}, B_{0}$ について

A_{0} \equiv ε_{a} ε_{b} ε_{n} B_{0} (mod 4)

である。いま $n = a - b$ は偶数である。 $a = b + n$ を用いると， $ε_{a} ε_{b} ε_{n}$ の指数の偶奇は

⌊ \frac{a}{2} ⌋ + ⌊ \frac{b}{2} ⌋ + \frac{n}{2} = 2 ⌊ \frac{b}{2} ⌋ + n

の偶奇に等しく，これは偶数である。したがって

A_{0} \equiv B_{0} (mod 4)

となる。(2)で選んだ $K = B_{0}, L = A_{0}$ は4で割った余りが等しいので，(1)より

_{4 a + 1} C_{4 b + 1} \equiv_{a} C_{b} (mod 4)

を得る。

(4)

2021 = 4 \cdot 505 + 1, 37 = 4 \cdot 9 + 1

で， $505 - 9 = 496$ は偶数であるから，(3)より

_{2021} C_{37} \equiv_{505} C_{9} (mod 4)

である。さらに

505 = 4 \cdot 126 + 1, 9 = 4 \cdot 2 + 1

で， $126 - 2 = 124$ も偶数なので

_{505} C_{9} \equiv_{126} C_{2} (mod 4)

である。最後に

_{126} C_{2} = \frac{126 \cdot 125}{2} = 63 \cdot 125 \equiv 3 (mod 4)

より，求める余りは

3

である。

東京大学 2021年度文理共通数学 文科第4問・理科第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東京大学 2021年度
文理共通数学文科第4問・理科第4問