横浜国立大学 2019年度理系数学第4問解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y$ 平面上に2点 $A (2, 0), B (0, 2)$ がある。2点 $P, Q$ は条件(＊)をみたしながら動く。

(＊) ⎩ ⎨ ⎧ P は線分 O A 上にある。 Q は線分 O B 上にある。 △ O P Q の面積は 1 である。

点 $P$ の座標を $(t, 0)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき，線分 $P Q$ が通過する領域を $x y$ 平面上に図示せよ。

(3) (2)で求めた領域の面積 $S$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2019年度前期理系第4問

方針

解法1

$Q = (0, u)$ とおくと，面積条件から $t u = 2$ であり，制約から $1 ≦ t ≦ 2$ となる。線分 $P Q$ の方程式を $x / t + y t /2 = 1$ と書き，固定した $x$ に対して $y = 2 (t - x) / t^{2}$ がとる範囲を調べる。上側境界は包絡線 $y = 1/ (2 x)$ と端の線分，下側境界は端の線分と $x$ 軸になる。最後は区間を分けて面積を積分する。

解法2

固定した点 $(x, y)$ を通る線分が存在する条件を、パラメータ $t$ の方程式 $y t^{2} - 2 t + 2 x = 0$ として見る。判別式0が包絡線、 $t = 1, 2$ が端の境界を与える。

解答

解法1

(1)

$Q = (0, u)$ とおく。 $P = (t, 0)$ , $Q = (0, u)$ で $△ O P Q$ の面積が1であるから

\frac{1}{2} t u = 1, u = \frac{2}{t} .

$0 ≦ t, u ≦ 2$ より $1 ≦ t ≦ 2$ である。

(2)

線分 $P Q$ は

y = \frac{2 ( t - x )}{t ^{2}} (0 ≦ x ≦ t)

で表される。固定した $x$ に対して右辺を $t$ の関数とみると、 $t = 2 x$ で包絡線 $y = 1/ (2 x)$ を得る。端の線分は

t = 1 : y = 2 - 2 x, t = 2 : y = 1 - \frac{x}{2} .

したがって通過領域は

0 ≦ x ≦ \frac{1}{2} : \frac{1}{2} ≦ x ≦ \frac{2}{3} : \frac{2}{3} ≦ x ≦ 1 : 1 ≦ x ≦ 2 : 1 - \frac{x}{2} ≦ y ≦ 2 - 2 x, 1 - \frac{x}{2} ≦ y ≦ \frac{1}{2 x}, 2 - 2 x ≦ y ≦ \frac{1}{2 x}, 0 ≦ y ≦ 1 - \frac{x}{2} .

(3)

この上下の境界の差を4区間で積分すると

S = \int_{0}^{1/2} (1 - \frac{3 x}{2}) d x + \int_{1/2}^{2/3} (\frac{1}{2 x} - 1 + \frac{x}{2}) d x

+ \int_{2/3}^{1} (\frac{1}{2 x} - 2 + 2 x) d x + \int_{1}^{2} (1 - \frac{x}{2}) d x .

計算して

S = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} lo g 2.

解法2

(1)

面積条件から $Q = (0, 2/ t)$ であり、 $Q$ が線分 $O B$ 上にある条件は $2/ t ≦ 2$ である。 $P$ の条件 $t ≦ 2$ と合わせて

1 ≦ t ≦ 2.

(2)

点 $(x, y)$ が線分上にある条件は

y = \frac{2 ( t - x )}{t ^{2}} ⟺ y t^{2} - 2 t + 2 x = 0. (1)

(1)が $t$ の重解をもつ境界では判別式が0だから

4 - 8 x y = 0 ⟺ y = \frac{1}{2 x} .

これが線分族の包絡線である。さらにパラメータの端 $t = 1, 2$ と、線分の端 $x = t, y = 0$ から

y = 2 - 2 x, y = 1 - \frac{x}{2}, y = 0

も境界になる。交点 $x = 1/2, 2/3, 1$ でつなぐと、通過領域は次の色付き部分である。

(3)

縦に切った上下端は、 $x = 1/2, 2/3, 1$ で切り替わる。したがって

S = \int_{0}^{1/2} (1 - \frac{3 x}{2}) d x + \int_{1/2}^{2/3} (\frac{1}{2 x} - 1 + \frac{x}{2}) d x

+ \int_{2/3}^{1} (\frac{1}{2 x} - 2 + 2 x) d x + \int_{1}^{2} (1 - \frac{x}{2}) d x = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} lo g 2.

横浜国立大学 2019年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2019年度
理系数学第4問