横浜国立大学 2019年度 前期理系数学 第4問

(1)
$Q=(0,u)$ とおく。$P=(t,0)$, $Q=(0,u)$ で $\mathrm{△}OPQ$ の面積が1であるから$$\frac{1}{2}tu=1,u=\frac{2}{t}\mathrm{.}$$$0\leqq t,u\leqq 2$ より $1\leqq t\leqq 2$ である。

(2)
線分 $PQ$ は$$y=\frac{2(t-x)}{t^2}(0\leqq x\leqq t)$$で表される。固定した $x$ に対して右辺を $t$ の関数とみると、$t=2x$ で包絡線 $y=1\mathrm{/}(2x)$ を得る。端の線分は$$t=1:y=2-2x,t=2:y=1-\frac{x}{2}\mathrm{.}$$したがって通過領域は$$\begin{array}{ll}0\leqq x\leqq \frac{1}{2}:& 1-\frac{x}{2}\leqq y\leqq 2-2x,\\ \frac{1}{2}\leqq x\leqq \frac{2}{3}:& 1-\frac{x}{2}\leqq y\leqq \frac{1}{2x},\\ \frac{2}{3}\leqq x\leqq 1:& 2-2x\leqq y\leqq \frac{1}{2x},\\ 1\leqq x\leqq 2:& 0\leqq y\leqq 1-\frac{x}{2}\mathrm{.}\end{array}$$(3)
この上下の境界の差を4区間で積分すると$$S={\int }_0^{1\mathrm{/}2}(1-\frac{3x}{2})dx+{\int }_{1\mathrm{/}2}^{2\mathrm{/}3}(\frac{1}{2x}-1+\frac{x}{2})dx$$$$+{\int }_{2\mathrm{/}3}^1(\frac{1}{2x}-2+2x)dx+{\int }_1^2(1-\frac{x}{2})dx\mathrm{.}$$計算して$$S=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\log 2.$$

固定した点 $(x,y)$ を通る線分が存在する条件を、パラメータ $t$ の方程式 $y{t}^2-2t+2x=0$ として見る。判別式0が包絡線、$t=1,2$ が端の境界を与える。

(1)
面積条件から $Q=(0,2\mathrm{/}t)$ であり、$Q$ が線分 $OB$ 上にある条件は $2\mathrm{/}t\leqq 2$ である。$P$ の条件 $t\leqq 2$ と合わせて$$1\leqq t\leqq 2.$$(2)
点 $(x,y)$ が線分上にある条件は$$\begin{array}{cccc}& y=\frac{2(t-x)}{t^2}⟺y{t}^2-2t+2x=0.& & \text{(1)}\end{array}$$(1)が $t$ の重解をもつ境界では判別式が0だから$$4-8xy=0⟺y=\frac{1}{2x}\mathrm{.}$$これが線分族の包絡線である。さらにパラメータの端 $t=1,2$ と、線分の端 $x=t,y=0$ から$$y=2-2x,y=1-\frac{x}{2},y=0$$も境界になる。交点 $x=1\mathrm{/}2,2\mathrm{/}3,1$ でつなぐと、通過領域は次の色付き部分である。

(3)
縦に切った上下端は、$x=1\mathrm{/}2,2\mathrm{/}3,1$ で切り替わる。したがって$$S={\int }_0^{1\mathrm{/}2}(1-\frac{3x}{2})dx+{\int }_{1\mathrm{/}2}^{2\mathrm{/}3}(\frac{1}{2x}-1+\frac{x}{2})dx$$$$+{\int }_{2\mathrm{/}3}^1(\frac{1}{2x}-2+2x)dx+{\int }_1^2(1-\frac{x}{2})dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\log 2.$$