横浜国立大学 2016年度 前期理系数学 第5問

(1) 点 $P(a,b)$ を通る傾き $m$ の直線を$$y-b=m(x-a)$$とする。これを $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$$ に代入して，接する条件を判別式 $0$ で表すと$$(a^2-4)m^2-2abm+(b^2-1)=0$$を得る。2本の接線がともに縦でないとき，その傾きを $m_1,m_2$ とすると，直交条件は $m_1{m}_2=-1$ である。したがって$$\frac{b^2-1}{a^2-4}=-1$$より$$a^2+b^2=5$$である。縦の接線を含む場合は $x=\pm 2$ と水平な接線 $y=\pm 1$ の組になり，この場合も $a^2+b^2=5$ をみたす。逆に $a^2+b^2=5$ なら点 $P$ は楕円の外部にあり，直交する2本の接線をもつ。よって条件は$$a^2+b^2=5$$である。

(2) 指定された頂点を $(1,\beta )(\beta >0)$ とすると，(1) より$$1+{\beta }^2=5$$だから $\beta =2$ である。すなわち頂点は $(1,2)$ である。この点を通る2本の接線の傾きは，(1) の式に $a=1,b=2$ を代入して$$3m^2+4m-3=0$$の2根 $m_1,m_2$ である。これらは $m_1{m}_2=-1$ をみたす。

傾き $m$ の楕円の接線は $$y=mx\pm \sqrt{4m^2+1}$$ と表されるので，この2本の平行接線間の距離は$$\frac{2\sqrt{4m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}$$である。したがって長方形の面積は$$\frac{2\sqrt{4m_1^2+1}}{\sqrt{m_1^2+1}}\cdot \frac{2\sqrt{4m_2^2+1}}{\sqrt{m_2^2+1}}$$である。$r=m_1^2$ とおくと $m_2^2=1\mathrm{/}r$ であり，$$m_1+m_2=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$，$m_1{m}_2=-1$ より$$r+\frac{1}{r}=\frac{34}{9}$$である。よって面積は$$4\sqrt{\frac{(4r+1)(r+4)}{(r+1{)}^2}}=4\sqrt{\frac{4(r+\frac{1}{r})+17}{r+\frac{1}{r}+2}}=4\sqrt{\frac{289}{52}}=\frac{34\sqrt{13}}{13}$$である。

(1) 接線を法線ベクトルで表し，直交する2法線を正規直交方向に分解して交点の距離を求める。(2) 楕円を各方向からはさんだ幅，すなわち支持関数を使って外接長方形の面積を求める。

(1) 直線$$lx+my=1$$が楕円 $C$ に接するための条件は$$\begin{array}{cccc}& 4l^2+m^2=1& & \text{(1)}\end{array}$$である。実際，楕円上の点 $(2\cos \theta ,\sin \theta )$ における接線をこの形に直せば確認できる。

点 $P$ で交わる直交2接線の法線ベクトルを$${\mathit{n}}_1=\rho (\cos \theta ,\sin \theta ),{\mathit{n}}_2=\sigma (-\sin \theta ,\cos \theta )$$とする。両接線は $${\mathit{n}}_i\cdot P=1$$ と書けるので，直交分解により$$P=\frac{{\mathit{n}}_1}{{\rho }^2}+\frac{{\mathit{n}}_2}{{\sigma }^2}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{cccc}& \mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{{\rho }^2}+\frac{1}{{\sigma }^2}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$一方，接線条件 (1) から$$\frac{1}{{\rho }^2}=4{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta ,\frac{1}{{\sigma }^2}=4{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \mathrm{.}$$これらを (2) に代入すると$$a^2+b^2=\mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2=5.$$逆にこの円上の点は楕円の外部にあり，同じ計算を逆にたどって直交する2接線をもつ。よって条件は$$a^2+b^2=5\mathrm{.}$$(2) 指定された頂点は (1) より $P=(1,2)$ である。外接長方形の一組の辺に垂直な単位ベクトルを$$\mathit{u}=(c,s)=(\cos \theta ,\sin \theta ),\mathit{v}=(-s,c)$$とする。楕円の原点から各支持線までの距離は$$h=\sqrt{4c^2+s^2}=\sqrt{1+3c^2},k=\sqrt{4s^2+c^2}=\sqrt{1+3s^2}\mathrm{.}$$したがって長方形の頂点を$$P=h\mathit{u}+k\mathit{v}=(1,2)$$と選べる。

$P\cdot \mathit{u}=h$，$P\cdot \mathit{v}=k$ より$$c+2s=h,-s+2c=k\mathrm{.}$$第1式を2乗して $h^2=1+3c^2$ を用いると$$\begin{array}{cccc}& 3(s^2-c^2)+4cs=0,c^2-s^2=\frac{4}{3}cs\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$さらに$$(c^2-s^2{)}^2+4c^2{s}^2=1$$へ (3) を代入し，$h,k>0$ となる符号を選ぶと$$cs=\frac{3}{2\sqrt{13}}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle hk}& {\displaystyle =(c+2s)(-s+2c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(c^2-s^2)+3cs}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{17}{3}cs=\frac{17}{2\sqrt{13}}\mathrm{.}}\end{array}$$長方形の2辺の長さは $2h,2k$ だから，面積は$$4hk=\frac{34}{\sqrt{13}}=\frac{34\sqrt{13}}{13}\mathrm{.}$$