横浜国立大学 2019年度文系数学第3問解答・解説

問題

実数 $a$ に対し， $x y$ 平面上の曲線 $y = x^{3} - a x$ を $C$ とする。 $C$ 上の異なる2点 $P_{1}, P_{2}$ と，2つの直線 $l_{1}, l_{2}$ があり， $k = 1, 2$ に対して以下の条件をみたしている。

(i) $P_{k}$ の $x$ 座標は正である。

(ii) $l_{k}$ は $P_{k}$ を通り，さらに $P_{k}$ における $C$ の接線と直交する。

(iii) $l_{k}$ は $P_{k}$ 以外の点で $C$ と接する。

次の問いに答えよ。

(1) $a$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $k = 1, 2$ に対して， $C$ と $l_{k}$ によって囲まれる部分の面積を $S_{k}$ とする。 $S_{1} + S_{2}$ を $a$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2019年度前期文系第3問

方針

解法1

$P$ の $x$ 座標を $p > 0$ ， $l$ が接する別の点の $x$ 座標を $q$ とする。接線の式が $P$ を通る条件から $(p - q)^{2} (p + 2 q) = 0$ を得て， $q = - p /2$ と決まる。さらに， $P$ での接線と $q$ での接線の傾きが直交する条件から $u = p^{2}$ の二次方程式を作り，正の2解をもつ条件を調べる。面積は重接点と単純交点をもつ三次式の積分として計算する。

解法2

別の接点の $x$ 座標を最初から $t < 0$ とおく。接線と曲線の差の因数分解から $P$ の座標を $- 2 t$ と読み、 $T = t^{2}$ の二次方程式へ直接落とす。

解答

解法1

(1)

$P$ の $x$ 座標を $p > 0$ ， $l$ が $P$ 以外で $C$ と接する点の $x$ 座標を $q$ とする。 $q$ における接線は

y = (3 q^{2} - a) (x - q) + q^{3} - a q = (3 q^{2} - a) x - 2 q^{3}

である。これが $P (p, p^{3} - a p)$ を通るから

p^{3} - a p = (3 q^{2} - a) p - 2 q^{3}

すなわち

p^{3} - 3 p q^{2} + 2 q^{3} = (p - q)^{2} (p + 2 q) = 0

である。 $P$ は接点と異なるので $p \neq = q$ であり，よって $q = - p /2$ である。

また $l$ は $P$ における接線と直交するので

(3 p^{2} - a) (3 q^{2} - a) = - 1.

$q = - p /2$ を代入し， $u = p^{2}$ とおくと

9 u^{2} - 15 a u + 4 (a^{2} + 1) = 0. (1)

異なる2点 $P_{1}, P_{2}$ が存在するには，(1)が正の異なる2解をもてばよい。解の和は $5 a /3$ ，積は $4 (a^{2} + 1) /9 > 0$ であるから $a > 0$ が必要である。さらに判別式が正である条件は

(15 a)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4 (a^{2} + 1) > 0 ⟺ 9 a^{2} - 16 > 0.

以上より $a > 4/3$ である。

(2)

曲線と $q$ における接線との差は

x^{3} - a x - {(3 q^{2} - a) x - 2 q^{3}} = (x - q)^{2} (x - p)

である。したがって囲まれる面積は

S = \int_{q}^{p} (x - q)^{2} (p - x) d x .

$d = p - q = 3 p /2$ とおくと

S = \int_{0}^{d} X^{2} (d - X) d X = \frac{d ^{4}}{12} = \frac{27 p ^{4}}{64} .

(1)の2解を $u_{1} = p_{1}^{2}, u_{2} = p_{2}^{2}$ とすると

u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = (\frac{5 a}{3})^{2} - 2 \cdot \frac{4 ( a ^{2} + 1 )}{9} = \frac{17 a ^{2} - 8}{9} .

よって

S_{1} + S_{2} = \frac{27}{64} (u_{1}^{2} + u_{2}^{2}) = \frac{3 ( 17 a ^{2} - 8 )}{64} .

解法2

(1)

$l$ が $C$ と接する点の $x$ 座標を $t$ とする。接線を $l_{t}$ と書けば

f (x) - l_{t} (x) = x^{3} - a x - {(3 t^{2} - a) x - 2 t^{3}} = (x - t)^{2} (x + 2 t) . (1)

したがって、この接線と $C$ のもう1つの交点 $P$ の $x$ 座標は $- 2 t$ である。これが正なので $t < 0$ である。

$P$ における接線の傾きは $12 t^{2} - a$ 、 $l_{t}$ の傾きは $3 t^{2} - a$ である。両者が直交する条件は

(12 t^{2} - a) (3 t^{2} - a) = - 1.

$T = t^{2} > 0$ とおくと

36 T^{2} - 15 a T + a^{2} + 1 = 0. (2)

(2)が正の異なる2解をもつ条件を調べる。積は常に正、和は $5 a /12$ なので $a > 0$ が必要であり、判別式は

D = 225 a^{2} - 144 (a^{2} + 1) = 9 (9 a^{2} - 16) .

よって $D > 0$ も合わせると $a > 4/3$ となる。

(2)

(1)より、 $t ≦ x ≦ - 2 t$ では曲線が接線の下側にある。 $d = - 3 t > 0$ 、 $X = x - t$ とおけば

S = - \int_{t}^{- 2 t} (x - t)^{2} (x + 2 t) d x = \int_{0}^{d} X^{2} (d - X) d X = \frac{d ^{4}}{12} = \frac{27}{4} T^{2} .

(2)の2解を $T_{1}, T_{2}$ とすると

T_{1} + T_{2} = \frac{5 a}{12}, T_{1} T_{2} = \frac{a ^{2} + 1}{36},

したがって

T_{1}^{2} + T_{2}^{2} = \frac{25 a ^{2}}{144} - \frac{a ^{2} + 1}{18} = \frac{17 a ^{2} - 8}{144} .

ゆえに

S_{1} + S_{2} = \frac{27}{4} (T_{1}^{2} + T_{2}^{2}) = \frac{3 ( 17 a ^{2} - 8 )}{64} .

横浜国立大学 2019年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

横浜国立大学 2019年度
文系数学第3問