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横浜国立大学 2019年度 前期文系数学 第3問

実数aに対し，xy平面上の曲線y=x3−axをCとする。C上の異なる2点P1,P2と，2つの直線l1,l2があり，k=1,2に対して以下の条件をみたしている。

(i) Pkのx座標は正である。

(ii) lkはPkを通り，さらにPkにおけるCの接線と直交する。

(iii) lkはPk以外の点でCと接する。

次の問いに答えよ。

(1) aのとり得る値の範囲を求めよ。

(2) k=1,2に対して，Cとlkによって囲まれる部分の面積をSkとする。S1+S2をaの式で表せ。

難易度8/ 10計算量8/ 10目安30分

微分、積分、関数　接線・法線、判別式、面積計算、パラメータ処理

方針

P の x 座標を p>0，l が接する別の点の x 座標を q とする。接線の式が P を通る条件から (p−q)2(p+2q)=0 を得て，q=−p/2 と決まる。さらに，P での接線と q での接線の傾きが直交する条件から u=p2 の二次方程式を作り，正の2解をもつ条件を調べる。面積は重接点と単純交点をもつ三次式の積分として計算する。

解答

(1)
P の x 座標を p>0，l が P 以外で C と接する点の x 座標を q とする。q における接線はy=(3q2−a)(x−q)+q3−aq=(3q2−a)x−2q3である。これが P(p,p3−ap) を通るからp3−ap=(3q2−a)p−2q3すなわちp3−3pq2+2q3=(p−q)2(p+2q)=0である。P は接点と異なるので p≠q であり，よって q=−p/2 である。

また l は P における接線と直交するので(3p2−a)(3q2−a)=−1.q=−p/2 を代入し，u=p2 とおくと9u2−15au+4(a2+1)=0.(1)異なる2点 P1,P2 が存在するには，(1)が正の異なる2解をもてばよい。解の和は 5a/3，積は 4(a2+1)/9>0 であるから a>0 が必要である。さらに判別式が正である条件は(15a)2−4⋅9⋅4(a2+1)>0  ⟺  9a2−16>0.以上より a>4/3 である。

(2)
曲線と q における接線との差はx3−ax−{(3q2−a)x−2q3}=(x−q)2(x−p)である。したがって囲まれる面積はS=∫qp(x−q)2(p−x) dx.d=p−q=3p/2 とおくとS=∫0dX2(d−X) dX=d412=27p464.(1)の2解を u1=p12,u2=p22 とするとu12+u22=(5a3)2−2⋅4(a2+1)9=17a2−89.よってS1+S2=2764(u12+u22)=3(17a2−8)64.

別解

解法2

方針

別の接点の x 座標を最初から t<0 とおく。接線と曲線の差の因数分解から P の座標を −2t と読み、T=t2 の二次方程式へ直接落とす。

解答

(1)
l が C と接する点の x 座標を t とする。接線を lt と書けばf(x)−lt(x)=x3−ax−{(3t2−a)x−2t3}=(x−t)2(x+2t).(1)したがって、この接線と C のもう1つの交点 P の x 座標は −2t である。これが正なので t<0 である。

P における接線の傾きは 12t2−a、lt の傾きは 3t2−a である。両者が直交する条件は(12t2−a)(3t2−a)=−1.T=t2>0 とおくと36T2−15aT+a2+1=0.(2)(2)が正の異なる2解をもつ条件を調べる。積は常に正、和は 5a/12 なので a>0 が必要であり、判別式はD=225a2−144(a2+1)=9(9a2−16).よって D>0 も合わせると a>4/3 となる。

(2)
(1)より、t≦x≦−2t では曲線が接線の下側にある。d=−3t>0、X=x−t とおけばS=−∫t−2t(x−t)2(x+2t) dx=∫0dX2(d−X) dX=d412=274T2.(2)の2解を T1,T2 とするとT1+T2=5a12,T1T2=a2+136,したがってT12+T22=25a2144−a2+118=17a2−8144.ゆえにS1+S2=274(T12+T22)=3(17a2−8)64.

総評

難度8，計算量8。想定時間は30分程度。核心は、三次関数とその接線の差が重接点をもつため (x−t)2(x+2t) と因数分解できることにある。これで正の x 座標をもつ点 P と負の接点が一対に定まり、直交条件は平方 T=t2 の二次方程式へ落ちる。面積も ∫0dX2(d−X) dX=d4/12 という共通形に整理すると符号ミスを防げる。

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出典: 横浜国立大学 2019年度 前期 数学 第3問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。