横浜国立大学 2020年度 前期文系数学 第1問

次のようにおく。$$\mathit{a}=\overrightarrow{OA},\mathit{b}=\overrightarrow{OB},\mathit{c}=\overrightarrow{OC}\mathrm{.}$$重心の位置ベクトルは$$\mathit{m}=\overrightarrow{OM}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{3}\mathrm{.}$$与えられた内積から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\mathit{m}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\frac{\mathrm{\mid }\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}{\mathrm{\mid }}^2}{9}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3+6k}{9}=\frac{1+2k}{3}}\end{array}$$である。また$$\mathit{a}\cdot \mathit{m}=\mathit{b}\cdot \mathit{m}=\frac{1+2k}{3}\mathrm{.}$$$P$ は線分 $OM$ 上にあるので$$\overrightarrow{OP}=t\mathit{m}(0\leqq t\leqq 1)$$とおける。直角条件は$$(\mathit{a}-t\mathit{m})\cdot (\mathit{b}-t\mathit{m})=0$$であるから$$k-\frac{2(1+2k)}{3}t+\frac{1+2k}{3}{t}^2=0.$$したがって$$t^2-2t+\frac{3k}{1+2k}=0,$$よって$$t=1\pm \sqrt{\frac{1-k}{1+2k}}\mathrm{.}$$$0<k<1$ で $0\leqq t\leqq 1$ を満たすのは負号の方だけなので$$\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OM}\mathrm{\mid }}=t=1-\sqrt{\frac{1-k}{1+2k}}\mathrm{.}$$次に$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\mathit{a}-t\mathit{m}{\mathrm{\mid }}^2=1-\frac{2(1+2k)}{3}t+\frac{1+2k}{3}{t}^2\mathrm{.}$$直交条件の式と比べると、後ろ2項の和は $-k$ である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2=1-k\mathrm{.}$$長さは正だから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }=\sqrt{1-k}\mathrm{.}$$以上より$$\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OM}\mathrm{\mid }}=1-\sqrt{\frac{1-k}{1+2k}},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }=\sqrt{1-k}\mathrm{.}$$

対称性から $AP=BP$ を示す。$\mathrm{\angle }APB={90}^{\circ }$ なので三角形 $APB$ は直角二等辺三角形となり、$AB$ から $AP$ を直ちに求められる。その値を $P=tM$ の距離式に戻して比を決める。

解法1と同じ記号$$\mathit{m}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{3},\overrightarrow{OP}=t\mathit{m}$$を用いる。ここで$$\mathit{m}\cdot \mathit{a}=\mathit{m}\cdot \mathit{b},\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }=1$$だから$$A{P}^2-B{P}^2=\mathrm{\mid }\mathit{a}-t\mathit{m}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\mathit{b}-t\mathit{m}{\mathrm{\mid }}^2=0.$$したがって $AP=BP$ である。さらに $\mathrm{\angle }APB={90}^{\circ }$ なので、三角形 $APB$ は直角二等辺三角形である。

一方$$A{B}^2=\mathrm{\mid }\mathit{a}-\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2=2(1-k)\mathrm{.}$$ピタゴラスの定理より$$A{B}^2=A{P}^2+B{P}^2=2A{P}^2$$だから$$AP=\sqrt{1-k}\mathrm{.}$$位置関係の模式図

あとは$$\mathrm{\mid }\mathit{m}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1+2k}{3}$$および$$A{P}^2=1-\frac{2(1+2k)}{3}t+\frac{1+2k}{3}{t}^2=1-k$$を使うと$$t^2-2t+\frac{3k}{1+2k}=0.$$$0\leqq t\leqq 1$ から$$t=1-\sqrt{\frac{1-k}{1+2k}}\mathrm{.}$$よって$$\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OM}\mathrm{\mid }}=1-\sqrt{\frac{1-k}{1+2k}},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }=\sqrt{1-k}\mathrm{.}$$