横浜国立大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

空間内に4点 $O, A, B, C$ があり、

∣ O A ∣ = ∣ O B ∣ = ∣ O C ∣ = 1

および

O A \cdot O B = O B \cdot O C = O C \cdot O A = k (0 < k < 1)

を満たしている。ただし、 $O A \cdot O B$ は $O A$ と $O B$ の内積を表す。

三角形 $A B C$ の重心を $M$ とする。線分 $O M$ 上に点 $P$ があり、

∠ A P B = 9 0^{\circ}

を満たしている。次の2量をそれぞれ $k$ の式で表せ。

\frac{∣ O P ∣}{∣ O M ∣}, ∣ A P ∣

出典：横浜国立大学 2020年度前期文系第1問

方針

解法1（重心ベクトルと直交条件を使う）

3本の位置ベクトルを $a, b, c$ とし、重心ベクトルを $m$ とする。 $P$ が線分 $O M$ 上にあることを $O P = t m$ と表し、 $P A \cdot P B = 0$ を $t$ の二次方程式にする。

解法2（直角二等辺三角形を先に使う）

対称性から $A P = B P$ を示す。 $∠ A P B = 9 0^{\circ}$ なので三角形 $A P B$ は直角二等辺三角形となり、 $A B$ から $A P$ を直ちに求められる。その値を $P = tM$ の距離式に戻して比を決める。

解答

解法1（重心ベクトルと直交条件を使う）

次のようにおく。

a = O A, b = O B, c = O C .

重心の位置ベクトルは

m = O M = \frac{a + b + c}{3} .

与えられた内積から

∣ m ∣^{2} = \frac{∣ a + b + c ∣ ^{2}}{9} = \frac{3 + 6 k}{9} = \frac{1 + 2 k}{3}

である。また

a \cdot m = b \cdot m = \frac{1 + 2 k}{3} .

$P$ は線分 $O M$ 上にあるので

O P = t m (0 ≦ t ≦ 1)

とおける。直角条件は

(a - t m) \cdot (b - t m) = 0

であるから

k - \frac{2 ( 1 + 2 k )}{3} t + \frac{1 + 2 k}{3} t^{2} = 0.

したがって

t^{2} - 2 t + \frac{3 k}{1 + 2 k} = 0,

よって

t = 1 \pm \frac{1 - k}{1 + 2 k} .

$0 < k < 1$ で $0 ≦ t ≦ 1$ を満たすのは負号の方だけなので

\frac{∣ O P ∣}{∣ O M ∣} = t = 1 - \frac{1 - k}{1 + 2 k} .

次に

∣ A P ∣^{2} = ∣ a - t m ∣^{2} = 1 - \frac{2 ( 1 + 2 k )}{3} t + \frac{1 + 2 k}{3} t^{2} .

直交条件の式と比べると、後ろ2項の和は $- k$ である。したがって

∣ A P ∣^{2} = 1 - k .

長さは正だから

∣ A P ∣ = 1 - k .

以上より

\frac{∣ O P ∣}{∣ O M ∣} = 1 - \frac{1 - k}{1 + 2 k}, ∣ A P ∣ = 1 - k .

解法2（直角二等辺三角形を先に使う）

解法1と同じ記号

m = \frac{a + b + c}{3}, O P = t m

を用いる。ここで

m \cdot a = m \cdot b, ∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1

だから

A P^{2} - B P^{2} = ∣ a - t m ∣^{2} - ∣ b - t m ∣^{2} = 0.

したがって $A P = B P$ である。さらに $∠ A P B = 9 0^{\circ}$ なので、三角形 $A P B$ は直角二等辺三角形である。

一方

A B^{2} = ∣ a - b ∣^{2} = 2 (1 - k) .

ピタゴラスの定理より

A B^{2} = A P^{2} + B P^{2} = 2 A P^{2}

だから

A P = 1 - k .

位置関係の模式図

あとは

∣ m ∣^{2} = \frac{1 + 2 k}{3}

および

A P^{2} = 1 - \frac{2 ( 1 + 2 k )}{3} t + \frac{1 + 2 k}{3} t^{2} = 1 - k

を使うと

t^{2} - 2 t + \frac{3 k}{1 + 2 k} = 0.

$0 ≦ t ≦ 1$ から

t = 1 - \frac{1 - k}{1 + 2 k} .

よって

\frac{∣ O P ∣}{∣ O M ∣} = 1 - \frac{1 - k}{1 + 2 k}, ∣ A P ∣ = 1 - k .

横浜国立大学 2020年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（重心ベクトルと直交条件を使う）

解法2（直角二等辺三角形を先に使う）

解答

解法1（重心ベクトルと直交条件を使う）

解法2（直角二等辺三角形を先に使う）

横浜国立大学 2020年度
文系数学第1問