横浜国立大学 2020年度 前期文系数学 第3問

(1)

$f(x)$ を $a,b$ について整理すると$$f(x)=-x^3+2x^2+2x+3+a(x^2-3x)+b(x-3)\mathrm{.}$$$x=3$ では $a,b$ を含む係数がともに0となり$$f(3)=0.$$したがって $C$ は常に定点$$(3,0)$$を通る。

(2)

因数分解すると$$f(x)=-(x-3)\{x^2+(1-a)x+1-b\}\mathrm{.}$$$C$ が $x$ 軸に接するための必要十分条件は、$f(x)=0$ が重根をもつことである。

$x=3$ が二次因子の根でもある場合は$$9+3(1-a)+1-b=0,$$したがって$$b=13-3a\mathrm{.}$$二次因子が重根をもつ場合は$$(1-a{)}^2-4(1-b)=0,$$したがって$$b=1-\frac{(a-1{)}^2}{4}\mathrm{.}$$直線と放物線は$$(a,b)=(7,-8)$$で接する。このとき$$f(x)=-(x-3{)}^3$$となり、$f$ は極値をとらない。したがって求める集合は$$b=13-3a$$と$$b=1-\frac{(a-1{)}^2}{4}$$の和集合から、点 $(7,-8)$ を除いたものである。

(3)

直線上では$$f(x)=-(x-3{)}^2\{x-(a-4)\},$$したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-(x-3)\{3x-(2a-5)\}\mathrm{.}$$$a\mathrm{\ne }7$ なので二つの停留点は異なり、極値は$$0,-\frac{4(7-a{)}^3}{27}\mathrm{.}$$放物線上では$$f(x)=-(x-3){(x-\frac{a-1}{2})}^2\mathrm{.}$$停留点は$$x=\frac{a-1}{2},x=\frac{a+11}{6}$$であり、極値は$$0,\frac{(7-a{)}^3}{54}\mathrm{.}$$

接点の $x$ 座標を重根 $r$、残りの根を $s$ として $f(x)=-(x-r{)}^2(x-s)$ と表す。常に根3をもつことから $r=3$ または $s=3$ に分け、係数比較で $a,b$ を決める。

(1)

$a,b$ によらず$$f(3)=0$$なので、定点は $(3,0)$ である。

(2)

接点の $x$ 座標を重根 $r$、残りの根を $s$ とする。最高次係数が $-1$ なので$$f(x)=-(x-r{)}^2(x-s)\mathrm{.}$$また $3$ は常に根だから、次の2場合だけを考えればよい。$$\begin{array}{ccc}\text{場合}& r& s\\ \mathrm{I}& 3& a-4\\ \mathrm{I}\mathrm{I}& {\displaystyle \frac{a-1}{2}}& 3\end{array}$$Iでは$$f(x)=-(x-3{)}^2\{x-(a-4)\}$$となり、係数比較から$$b=13-3a\mathrm{.}$$IIでは$$f(x)=-{(x-\frac{a-1}{2})}^2(x-3)$$となり$$b=1-\frac{(a-1{)}^2}{4}\mathrm{.}$$両方で $r=s=3$ となるのは $(a,b)=(7,-8)$ で、このとき三重根となって極値をもたない。よって解法1の図の2曲線から $(7,-8)$ を除く。

(3)

一般に$$g(x)=-(x-r{)}^2(x-s)$$とすると$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-(x-r)(3x-r-2s)\mathrm{.}$$二つの停留点での値は$$0,\frac{4(s-r{)}^3}{27}\mathrm{.}$$Iでは $r=3,s=a-4$ なので$$0,-\frac{4(7-a{)}^3}{27}\mathrm{.}$$IIでは$$r=\frac{a-1}{2},s=3$$なので$$0,\frac{4}{27}{\left(\frac{7-a}{2}\right)}^3=\frac{(7-a{)}^3}{54}\mathrm{.}$$