横浜国立大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

実数 $a, b$ に対し

f (x) = - x^{3} + (a + 2) x^{2} - (3 a - b - 2) x - 3 (b - 1)

と定める。 $x y$ 平面上で $y = f (x)$ が表す曲線を $C$ とする。

(1) どのような $a, b$ に対しても、 $C$ はある定点を通ることを示せ。

(2) $f (x)$ は極値をとるとする。 $C$ が $x$ 軸に接するような $(a, b)$ の存在範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

(3) $(a, b)$ が (2) で求めた範囲にあるとき、 $f (x)$ の極値を $a$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2020年度前期文系第3問

方針

解法1（定点から因数分解し、重根を分類する）

$f (x)$ を $a, b$ について整理して定点を見つける。その定点に対応する因子 $x - 3$ を取り出し、 $x = 3$ が重根になる場合と二次因子自身が重根をもつ場合に分ける。

解法2（重根と残りの根の一般形を使う）

接点の $x$ 座標を重根 $r$ 、残りの根を $s$ として $f (x) = - (x - r)^{2} (x - s)$ と表す。常に根3をもつことから $r = 3$ または $s = 3$ に分け、係数比較で $a, b$ を決める。

解答

解法1（定点から因数分解し、重根を分類する）

(1)

$f (x)$ を $a, b$ について整理すると

f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 3 + a (x^{2} - 3 x) + b (x - 3) .

$x = 3$ では $a, b$ を含む係数がともに0となり

f (3) = 0.

したがって $C$ は常に定点

(3, 0)

を通る。

(2)

因数分解すると

f (x) = - (x - 3) {x^{2} + (1 - a) x + 1 - b} .

$C$ が $x$ 軸に接するための必要十分条件は、 $f (x) = 0$ が重根をもつことである。

$x = 3$ が二次因子の根でもある場合は

9 + 3 (1 - a) + 1 - b = 0,

したがって

b = 13 - 3 a .

二次因子が重根をもつ場合は

(1 - a)^{2} - 4 (1 - b) = 0,

したがって

b = 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4} .

直線と放物線は

(a, b) = (7, - 8)

で接する。このとき

f (x) = - (x - 3)^{3}

となり、 $f$ は極値をとらない。したがって求める集合は

b = 13 - 3 a

と

b = 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4}

の和集合から、点 $(7, - 8)$ を除いたものである。

(3)

直線上では

f (x) = - (x - 3)^{2} {x - (a - 4)},

したがって

f^{'} (x) = - (x - 3) {3 x - (2 a - 5)} .

$a \neq = 7$ なので二つの停留点は異なり、極値は

0, - \frac{4 ( 7 - a ) ^{3}}{27} .

放物線上では

f (x) = - (x - 3) (x - \frac{a - 1}{2})^{2} .

停留点は

x = \frac{a - 1}{2}, x = \frac{a + 11}{6}

であり、極値は

0, \frac{( 7 - a ) ^{3}}{54} .

解法2（重根と残りの根の一般形を使う）

(1)

$a, b$ によらず

f (3) = 0

なので、定点は $(3, 0)$ である。

(2)

接点の $x$ 座標を重根 $r$ 、残りの根を $s$ とする。最高次係数が $- 1$ なので

f (x) = - (x - r)^{2} (x - s) .

また $3$ は常に根だから、次の2場合だけを考えればよい。

場合 I II r 3 \frac{a - 1}{2} s a - 4 3

Iでは

f (x) = - (x - 3)^{2} {x - (a - 4)}

となり、係数比較から

b = 13 - 3 a .

IIでは

f (x) = - (x - \frac{a - 1}{2})^{2} (x - 3)

となり

b = 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4} .

両方で $r = s = 3$ となるのは $(a, b) = (7, - 8)$ で、このとき三重根となって極値をもたない。よって解法1の図の2曲線から $(7, - 8)$ を除く。

(3)

一般に

g (x) = - (x - r)^{2} (x - s)

とすると

g^{'} (x) = - (x - r) (3 x - r - 2 s) .

二つの停留点での値は

0, \frac{4 ( s - r ) ^{3}}{27} .

Iでは $r = 3, s = a - 4$ なので

0, - \frac{4 ( 7 - a ) ^{3}}{27} .

IIでは

r = \frac{a - 1}{2}, s = 3

なので

0, \frac{4}{27} (\frac{7 - a}{2})^{3} = \frac{( 7 - a ) ^{3}}{54} .

横浜国立大学 2020年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（定点から因数分解し、重根を分類する）

解法2（重根と残りの根の一般形を使う）

解答

解法1（定点から因数分解し、重根を分類する）

(1)

(2)

(3)

解法2（重根と残りの根の一般形を使う）

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2020年度
文系数学第3問