横浜国立大学 2024年度 前期文系数学 第1問

(1)
負の整数根を$-k$とする。ただし$k$は正の整数である。$f(-k)=0$より$$-k^3-4k^2+2^{n}k+8=0,$$したがって$$2^n=k^2+4k-\frac{8}{k}\mathrm{.}$$右辺が整数なので$k$は8の正の約数であり、$k=1,2,4,8$である。各候補で右辺を調べると$$\begin{array}{cc}k& k^2+4k-8\mathrm{/}k\\ 1& -3\\ 2& 8\\ 4& 30\\ 8& 95\end{array}$$である。正の2の累乗になるのは$k=2$のときだけで、$$n=3$$である。

このとき$$f(x)=x^3-4x^2-8x+8=(x+2)(x^2-6x+4),$$ゆえに$$\alpha =-2,\beta =3-\sqrt{5},\gamma =3+\sqrt{5}$$である。実際、$-2<3-\sqrt{5}<3+\sqrt{5}$である。

(2)
$u=x-3$とおくと、積分区間は$$-\sqrt{5}\leqq u\leqq \sqrt{5}$$となり、$$f(x)=(u+5)(u^2-5)=u^3+5u^2-5u-25.$$対称区間では奇関数部分の積分が0なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\beta }^{\gamma }f(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}(5u^2-25)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5\cdot \frac{2(\sqrt{5}{)}^3}{3}-50\sqrt{5}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{100\sqrt{5}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$

3根を$-k,u,v$と置き、積・和・2根ずつの積に解と係数の関係を使う。得られた$k$で残り2根を二次方程式から求め、積分は原始関数へ端点を代入して確認する。

(1)
負の整数根を$-k$、残りの2根を$u,v$とする。解と係数の関係から$$-k+u+v=4,(-k)uv=-8.$$よって$$u+v=k+4,uv=\frac{8}{k}\mathrm{.}$$特に$uv$は整数なので$k$は8の正の約数である。また2根ずつの積の和から$$-2^n=uv-k(u+v)=\frac{8}{k}-k(k+4),$$すなわち$$2^n=k(k+4)-\frac{8}{k}\mathrm{.}$$$k=1,2,4,8$を代入すると$-3,8,30,95$となり、2の正の累乗は8だけである。したがって$$k=2,n=3.$$このとき$u+v=6,uv=4$なので$$u,v=3\pm \sqrt{5}\mathrm{.}$$順序を付ければ$$\alpha =-2,\beta =3-\sqrt{5},\gamma =3+\sqrt{5}\mathrm{.}$$(2)
$n=3$のときの原始関数を$$F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}-4x^2+8x$$とする。端点を$3\pm \sqrt{5}$とし、$s=\sqrt{5}$とおいて偶奇に分けて差を取ると$$F(3+s)-F(3-s)=-\frac{100s}{3}\mathrm{.}$$したがって$${\int }_{\beta }^{\gamma }f(x)dx=-\frac{100\sqrt{5}}{3}\mathrm{.}$$また$(\beta ,\gamma )$では$(x+2)>0$、$(x-\beta )(x-\gamma )<0$なので$f(x)<0$であり、積分値が負であることとも整合する。