横浜国立大学 2024年度文系数学第1問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対し，関数 $f (x)$ を

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 2^{n} x + 8

と定義する。 $x$ についての方程式 $f (x) = 0$ が3つの実数解 $α$ ， $β$ ， $γ$ （ $α < β < γ$ ）をもち，そのうちの1つが負の整数であるとする。次の問いに答えよ。

(1) $n$ ，および $α$ ， $β$ ， $γ$ を求めよ。

(2) $\int_{β}^{γ} f (x) d x$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期文系第1問

方針

解法1：負の整数根を定数項の約数から絞る

負の整数根を $- k$ と置く。方程式から $k$ が8の正の約数であることを示して有限個を調べ、因数分解する。積分は根の中点3だけ平行移動して奇関数部分を消す。

解法2：解と係数の関係から整数根を決める

3根を $- k, u, v$ と置き、積・和・2根ずつの積に解と係数の関係を使う。得られた $k$ で残り2根を二次方程式から求め、積分は原始関数へ端点を代入して確認する。

解答

解法1：負の整数根を定数項の約数から絞る

(1)

負の整数根を $- k$ とする。ただし $k$ は正の整数である。 $f (- k) = 0$ より

- k^{3} - 4 k^{2} + 2^{n} k + 8 = 0,

したがって

2^{n} = k^{2} + 4 k - \frac{8}{k} .

右辺が整数なので $k$ は8の正の約数であり、 $k = 1, 2, 4, 8$ である。各候補で右辺を調べると

k 1248 k^{2} + 4 k - 8/ k - 3 83095

である。正の2の累乗になるのは $k = 2$ のときだけで、

n = 3

である。

このとき

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 8 x + 8 = (x + 2) (x^{2} - 6 x + 4),

ゆえに

α = - 2, β = 3 - 5, γ = 3 + 5

である。実際、 $- 2 < 3 - 5 < 3 + 5$ である。

(2)

$u = x - 3$ とおくと、積分区間は $- 5 ≦ u ≦ 5$ となり、

f (x) = (u + 5) (u^{2} - 5) = u^{3} + 5 u^{2} - 5 u - 25.

対称区間では奇関数部分の積分が0なので

\int_{β}^{γ} f (x) d x = \int_{- 5}^{5} (5 u^{2} - 25) d u = 5 \cdot \frac{2 ( 5 ) ^{3}}{3} - 505 = - \frac{100 5}{3} .

解法2：解と係数の関係から整数根を決める

(1)

負の整数根を $- k$ 、残りの2根を $u, v$ とする。解と係数の関係から

- k + u + v = 4, (- k) uv = - 8.

よって

u + v = k + 4, uv = \frac{8}{k} .

特に $uv$ は整数なので $k$ は8の正の約数である。また2根ずつの積の和から

- 2^{n} = uv - k (u + v) = \frac{8}{k} - k (k + 4),

すなわち

2^{n} = k (k + 4) - \frac{8}{k} .

$k = 1, 2, 4, 8$ を代入すると $- 3, 8, 30, 95$ となり、2の正の累乗は8だけである。したがって

k = 2, n = 3.

このとき $u + v = 6, uv = 4$ なので

u, v = 3 \pm 5 .

順序を付ければ

α = - 2, β = 3 - 5, γ = 3 + 5 .

(2)

$n = 3$ のときの原始関数を

F (x) = \frac{x ^{4}}{4} - \frac{4 x ^{3}}{3} - 4 x^{2} + 8 x

とする。端点を $3 \pm 5$ とし、 $s = 5$ とおいて偶奇に分けて差を取ると

F (3 + s) - F (3 - s) = - \frac{100 s}{3} .

したがって

\int_{β}^{γ} f (x) d x = - \frac{100 5}{3} .

また $(β, γ)$ では $(x + 2) > 0$ 、 $(x - β) (x - γ) < 0$ なので $f (x) < 0$ であり、積分値が負であることとも整合する。

横浜国立大学 2024年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1：負の整数根を定数項の約数から絞る

解法2：解と係数の関係から整数根を決める

解答

解法1：負の整数根を定数項の約数から絞る

(1)

(2)

解法2：解と係数の関係から整数根を決める

(1)

(2)

横浜国立大学 2024年度
文系数学第1問