横浜国立大学 2024年度文系数学第3問解答・解説

問題

$m$ ， $n$ を実数とする。 $x y$ 平面上に直線 $l : y = m x + n$ と曲線 $C : y = x^{3} - 3 x^{2}$ があり， $l$ と $C$ は異なる3点で交わっている。各交点の $x$ 座標を $a$ ， $b$ ， $c$ （ $a < b < c$ ）とおく。

以下， $b = \frac{a + c}{2}$ が成り立つとする。次の問いに答えよ。

(1) $b$ の値を求めよ。

(2) $m$ ， $n$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ。また， $a$ の取りうる値の範囲を求めよ。

$l$ の傾きを $tan α$ （ $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ）とし， $C$ 上の点 $(a, a^{3} - 3 a^{2})$ における $C$ の接線 $l^{'}$ の傾きを $tan β$ （ $- \frac{π}{2} < β < \frac{π}{2}$ ）とする。

(3) $\frac{1}{tan ( β - α )}$ を $a$ を用いて表せ。

(4) $a$ が(2)で求めた範囲にあるとき， $\frac{1}{tan ( β - α )}$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期文系第3問

方針

解法1：3交点を三次方程式の根として扱う

交点の $x$ 座標に解と係数の関係を適用する。中点条件で $b$ を決め、傾きの差の公式を $(a - 1)^{2}$ だけの式に整理して相加相乗平均を使う。

解法2：中点を中心に根を対称表示

根を $1 - t, 1, 1 + t$ と対称表示し、曲線と直線の差を因数分解する。傾きを $t^{2}$ だけで表して最小化する。

解答

解法1：3交点を三次方程式の根として扱う

(1)

交点の $x$ 座標は

x^{3} - 3 x^{2} - m x - n = 0

の3根である。解と係数の関係から

a + b + c = 3.

一方、 $a + c = 2 b$ なので $3 b = 3$ となり、

b = 1

である。

(2)

$c = 2 - a$ である。解と係数の関係

ab + b c + c a = - m, ab c = n

へ $b = 1, c = 2 - a$ を代入すると

m = a^{2} - 2 a - 2, n = 2 a - a^{2} .

$a < b = 1 < c = 2 - a$ となるための必要十分条件は

a < 1

である。

(3)

tan α = m = a^{2} - 2 a - 2, tan β = 3 a^{2} - 6 a .

$a < 1$ なので両傾きの差は

tan β - tan α = 2 (a - 1)^{2} > 0.

したがって

\frac{1}{tan ( β - α )} = \frac{1 + tan α tan β}{tan β - tan α} .

展開して $(a - 1)^{2}$ で整理すると

\frac{1}{tan ( β - α )} = \frac{3}{2} (a - 1)^{2} + \frac{5}{( a - 1 ) ^{2}} - 6

である。

(4)

$u = (a - 1)^{2} > 0$ とおくと、求める式は

\frac{3}{2} u + \frac{5}{u} - 6.

相加相乗平均より

\frac{3}{2} u + \frac{5}{u} ≧ 2 \frac{3}{2} \cdot 5 = 30 .

等号条件は

\frac{3}{2} u = \frac{5}{u}, u = \frac{10}{3} .

$a < 1$ に注意して

a = 1 - 4 \frac{10}{3} .

したがって最小値は

30 - 6

である。

解法2：中点を中心に根を対称表示

(1)

3根の和は3で、 $a + c = 2 b$ だから $a + b + c = 3 b = 3$ 、よって

b = 1.

(2)

$t > 0$ として $a = 1 - t, b = 1, c = 1 + t$ とおく。3根から

x^{3} - 3 x^{2} - m x - n = (x - 1 + t) (x - 1) (x - 1 - t) = (x - 1)^{3} - t^{2} (x - 1) .

係数を比べて $m = t^{2} - 3, n = 1 - t^{2}$ である。 $t = 1 - a$ を戻せば

m = a^{2} - 2 a - 2, n = 2 a - a^{2}, a < 1.

(3)

tan α = t^{2} - 3, tan β = 3 t^{2} - 3

なので

\frac{1}{tan ( β - α )} = \frac{1 + ( t ^{2} - 3 ) ( 3 t ^{2} - 3 )}{2 t ^{2}} = \frac{3}{2} t^{2} + \frac{5}{t ^{2}} - 6.

$t^{2} = (a - 1)^{2}$ を代入すればよい。

(4)

相加相乗平均より

\frac{3}{2} t^{2} + \frac{5}{t ^{2}} ≧ 30, 等号は t^{4} = \frac{10}{3} のとき .

したがって

a = 1 - 4 \frac{10}{3}, 最小値 = 30 - 6.

横浜国立大学 2024年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1：3交点を三次方程式の根として扱う

解法2：中点を中心に根を対称表示

解答

解法1：3交点を三次方程式の根として扱う

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2：中点を中心に根を対称表示

(1)

(2)

(3)

(4)

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文系数学第3問