横浜国立大学 2024年度 前期文系数学 第3問

(1)
交点の$x$座標は$$x^3-3x^2-mx-n=0$$の3根である。解と係数の関係から$$a+b+c=3.$$一方、$a+c=2b$なので$3b=3$となり、$$b=1$$である。

(2)
$c=2-a$である。解と係数の関係$$ab+bc+ca=-m,abc=n$$へ$b=1,c=2-a$を代入すると$$m=a^2-2a-2,n=2a-a^2\mathrm{.}$$$a<b=1<c=2-a$となるための必要十分条件は$$a<1$$である。

(3) $$\tan \alpha =m=a^2-2a-2,\tan \beta =3a^2-6a\mathrm{.}$$$a<1$なので両傾きの差は$$\tan \beta -\tan \alpha =2(a-1{)}^2>0.$$したがって$$\frac{1}{\tan (\beta -\alpha )}=\frac{1+\tan \alpha \tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }\mathrm{.}$$展開して$(a-1{)}^2$で整理すると$$\frac{1}{\tan (\beta -\alpha )}=\frac{3}{2}(a-1{)}^2+\frac{5}{(a-1{)}^2}-6$$である。

(4)
$u=(a-1{)}^2>0$とおくと、求める式は$$\frac{3}{2}u+\frac{5}{u}-6.$$相加相乗平均より$$\frac{3}{2}u+\frac{5}{u}\geqq 2\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 5}=\sqrt{30}\mathrm{.}$$等号条件は$$\frac{3}{2}u=\frac{5}{u},u=\sqrt{\frac{10}{3}}\mathrm{.}$$$a<1$に注意して$$a=1-\sqrt[4]{\frac{10}{3}}\mathrm{.}$$したがって最小値は$$\sqrt{30}-6$$である。

根を$1-t,1,1+t$と対称表示し、曲線と直線の差を因数分解する。傾きを$t^2$だけで表して最小化する。

(1)
3根の和は3で、$a+c=2b$だから$a+b+c=3b=3$、よって$$b=1.$$(2)
$t>0$として$a=1-t,b=1,c=1+t$とおく。3根から$$x^3-3x^2-mx-n=(x-1+t)(x-1)(x-1-t)=(x-1{)}^3-t^2(x-1)\mathrm{.}$$係数を比べて$m=t^2-3,n=1-t^2$である。$t=1-a$を戻せば$$m=a^2-2a-2,n=2a-a^2,a<1.$$(3)$$\tan \alpha =t^2-3,\tan \beta =3t^2-3$$なので$$\frac{1}{\tan (\beta -\alpha )}=\frac{1+(t^2-3)(3t^2-3)}{2t^2}=\frac{3}{2}{t}^2+\frac{5}{t^2}-6.$$$t^2=(a-1{)}^2$を代入すればよい。

(4)
相加相乗平均より$$\frac{3}{2}{t}^2+\frac{5}{t^2}\geqq \sqrt{30},\text{等号は }{t}^4=\frac{10}{3}\text{ のとき}\mathrm{.}$$したがって$$a=1-\sqrt[4]{\frac{10}{3}},\text{最小値}=\sqrt{30}-6.$$