横浜国立大学 2024年度 前期文系数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{PQ}=(3,-6,6)=3(1,-2,2)$$なので、直線$l$の方向ベクトルを$$\vec{d}=(1,-2,2)$$とする。$H=P+t\vec{d}$とおくと、$AH\perp l$より$$(A-P-t\vec{d})\cdot \vec{d}=0.$$したがって$$t=\frac{(A-P)\cdot \vec{d}}{\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2}=\frac{(8,-1,4)\cdot (1,-2,2)}{9}=\frac{18}{9}=2.$$よって$$H=(3,-2,7),HA=\mathrm{\mid }(6,3,0)\mathrm{\mid }=3\sqrt{5}\mathrm{.}$$(2)$$\overrightarrow{PB}=(0,0,-18)$$なので、平面$\alpha$内の方向は$\vec{d}$と$\vec{e}=(0,0,1)$で張られる。平面内で$\vec{d}$に垂直なベクトルを$$\vec{w}=s\vec{d}+t\vec{e}$$とおくと$$\vec{w}\cdot \vec{d}=9s+2t=0.$$$t=-9s\mathrm{/}2$より$$\vec{w}=(s,-2s,-\frac{5}{2}s),\mathrm{\mid }\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{45}{4}{s}^2\mathrm{.}$$$HC=HA=3\sqrt{5}$から$\mathrm{\mid }\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2=45$なので$s=\pm 2$である。したがって$$C=H+(2,-4,-5)=(5,-6,2)$$または$$C=H+(-2,4,5)=(1,2,12)$$である。両点は平面$\alpha$上で、$HC\perp l$を満たす。

まず平面$\alpha$の方程式を求める。点$C=(x,y,z)$に対し、平面上、$HC\perp l$、距離$HC=HA$の3条件を順に連立して解く。

(1)
直線$l$を$$(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,-2,2)$$と表す。$H$に対応する$t$は$$\{A-(1,2,3)-t(1,-2,2)\}\cdot (1,-2,2)=0$$から$t=2$である。よって$$H=(3,-2,7),HA=3\sqrt{5}\mathrm{.}$$(2)
$\vec{d}=(1,-2,2)$と$$\overrightarrow{PB}=(0,0,-18)$$の外積は$(36,18,0)$に平行である。したがって平面$\alpha$の方程式は$$2(x-1)+(y-2)=0,$$すなわち$$2x+y-4=0.$$$C=(x,y,z)$とすると、$HC\perp l$は$$(x-3,y+2,z-7)\cdot (1,-2,2)=0,$$すなわち$$x-2y+2z-21=0.$$初めの2式から$$y=4-2x,z=\frac{29-5x}{2}\mathrm{.}$$よって$$y+2=-2(x-3),z-7=-\frac{5}{2}(x-3)\mathrm{.}$$距離条件$H{C}^2=45$は$$(x-3{)}^2+4(x-3{)}^2+\frac{25}{4}(x-3{)}^2=45,$$したがって$$\frac{45}{4}(x-3{)}^2=45,x-3=\pm 2.$$各値を代入すると$$C=(5,-6,2),(1,2,12)$$の2点を得る。