横浜国立大学 2024年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y z$ 空間内に，2点 $P (1, 2, 3)$ ， $Q (4, - 4, 9)$ を通る直線 $l$ がある。点 $A (9, 1, 7)$ から $l$ にひいた垂線と $l$ との交点を $H$ とする。また， $l$ と点 $B (1, 2, - 15)$ を含む平面を $α$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $H$ の座標，および線分 $H A$ の長さを求めよ。

(2) 以下の2つの条件をともにみたす，平面 $α$ 上の点 $C$ の座標をすべて求めよ。

H C ⊥ l, H C = H A

出典：横浜国立大学 2024年度前期文系第2問

方針

解法1：正射影と平面内の垂直方向

直線の方向ベクトルを簡約し、内積による正射影で $H$ を求める。平面 $α$ 内かつ直線 $l$ に垂直な方向を1本作り、長さ条件でその係数を決める。

解法2：平面と垂直平面の連立方程式

まず平面 $α$ の方程式を求める。点 $C = (x, y, z)$ に対し、平面上、 $H C ⊥ l$ 、距離 $H C = H A$ の3条件を順に連立して解く。

解答

解法1：正射影と平面内の垂直方向

(1)

P Q = (3, - 6, 6) = 3 (1, - 2, 2)

なので、直線 $l$ の方向ベクトルを

d = (1, - 2, 2)

とする。 $H = P + t d$ とおくと、 $A H ⊥ l$ より

(A - P - t d) \cdot d = 0.

したがって

t = \frac{( A - P ) \cdot d}{∣ d ∣ ^{2}} = \frac{( 8 , - 1 , 4 ) \cdot ( 1 , - 2 , 2 )}{9} = \frac{18}{9} = 2.

よって

H = (3, - 2, 7), H A = ∣ (6, 3, 0) ∣ = 35 .

(2)

$P B = (0, 0, - 18)$ なので、平面 $α$ 内の方向は $d$ と $e = (0, 0, 1)$ で張られる。平面内で $d$ に垂直なベクトルを

w = s d + t e

とおくと

w \cdot d = 9 s + 2 t = 0.

$t = - 9 s /2$ より

w = (s, - 2 s, - \frac{5}{2} s), ∣ w ∣^{2} = \frac{45}{4} s^{2} .

$H C = H A = 35$ から $∣ w ∣^{2} = 45$ なので $s = \pm 2$ である。したがって

C = H + (2, - 4, - 5) = (5, - 6, 2)

または

C = H + (- 2, 4, 5) = (1, 2, 12)

である。両点は平面 $α$ 上で、 $H C ⊥ l$ を満たす。

解法2：平面と垂直平面の連立方程式

(1)

直線 $l$ を

(x, y, z) = (1, 2, 3) + t (1, - 2, 2)

と表す。 $H$ に対応する $t$ は

{A - (1, 2, 3) - t (1, - 2, 2)} \cdot (1, - 2, 2) = 0

から $t = 2$ である。よって

H = (3, - 2, 7), H A = 35 .

(2)

$d = (1, - 2, 2)$ と $P B = (0, 0, - 18)$ の外積は $(36, 18, 0)$ に平行である。したがって平面 $α$ の方程式は

2 (x - 1) + (y - 2) = 0,

すなわち

2 x + y - 4 = 0.

$C = (x, y, z)$ とすると、 $H C ⊥ l$ は

(x - 3, y + 2, z - 7) \cdot (1, - 2, 2) = 0,

すなわち

x - 2 y + 2 z - 21 = 0.

初めの2式から

y = 4 - 2 x, z = \frac{29 - 5 x}{2} .

よって

y + 2 = - 2 (x - 3), z - 7 = - \frac{5}{2} (x - 3) .

距離条件 $H C^{2} = 45$ は

(x - 3)^{2} + 4 (x - 3)^{2} + \frac{25}{4} (x - 3)^{2} = 45,

したがって

\frac{45}{4} (x - 3)^{2} = 45, x - 3 = \pm 2.

各値を代入すると

C = (5, - 6, 2), (1, 2, 12)

の2点を得る。

横浜国立大学 2024年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1：正射影と平面内の垂直方向

解法2：平面と垂直平面の連立方程式

解答

解法1：正射影と平面内の垂直方向

(1)

(2)

解法2：平面と垂直平面の連立方程式

(1)

(2)

横浜国立大学 2024年度
文系数学第2問