横浜国立大学 2025年度 前期文系数学 第3問

(1)
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-1$である。条件(i)，(ii)より$$s=f(p)+(2q-1)(r-p),s=f(q)+(2p-1)(r-q)$$である。両式を引くと$$(p-q)(p+q-2r)=0$$となり，$p\mathrm{\ne }q$より$p+q=2r$である。$p=r-d,q=r+d$（$d>0$）とおくと，どちらか一方の式から$$s=r^2-r-2+3d^2$$を得る。したがって条件は$$s>r^2-r-2$$であり，$$p=r-\sqrt{\frac{s-r^2+r+2}{3}},q=r+\sqrt{\frac{s-r^2+r+2}{3}}$$である。

(2)
直交条件は$$(2p-1)(2q-1)=-1$$である。$p+q=2r$，$pq=r^2-d^2$を用いると$$4(r^2-d^2)-4r+1=-1$$より$$d^2=r^2-r+\frac{1}{2}$$である。よって$$s=r^2-r-2+3(r^2-r+\frac{1}{2})=4r^2-4r-\frac{1}{2}$$である。

(3)
$O,P,Q$が一直線上にある条件は$$pf(q)-qf(p)=0$$である。ここで$$pf(q)-qf(p)=(q-p)(pq+2)$$であり，$q-p>0$だから$pq=-2$が一直線条件である。一方，(2)のもとでは$$pq=r^2-d^2=r-\frac{1}{2}$$である。したがって除くべき値は$r=-3\mathrm{/}2$であり，$$r\mathrm{\ne }-\frac{3}{2}$$である。

(4)
三角形の面積より$$T=\frac{1}{2}\mid pf(q)-qf(p)\mid =\frac{1}{2}(q-p)\mathrm{\mid }pq+2\mathrm{\mid }=d\mid r+\frac{3}{2}\mid$$である。したがって$$T^2=(r^2-r+\frac{1}{2}){(r+\frac{3}{2})}^2$$である。

(5) $$F(r)=(r^2-r+\frac{1}{2}){(r+\frac{3}{2})}^2$$とおく。微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(r)=(r+\frac{3}{2})(4r^2-\frac{1}{2})$$である。定義域では$r=-3\mathrm{/}2$は除かれているので，符号変化を見ると，$r=-1\mathrm{/}(2\sqrt{2})$で増加から減少に変わる。よって$T^2$が極大となるのは$$r=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$$である。