横浜国立大学 2023年度 前期理系数学 第5問

(1)
$g(x)=e^{-x}-(1-x)$とおくと、$g(0)=0$であり$g^{\mathrm{\prime }}(x)=1-e^{-x}>0$である。よって$x>0$で$1-x<e^{-x}$である。

次に$$h(x)=1-x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-e^{-x}$$とおく。$h(0)=0$であり、$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=-1+x+e^{-x},h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=1-e^{-x}>0$$である。$h^{\mathrm{\prime }}(0)=0$だから$x>0$で$h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、さらに$h(x)>0$である。したがって$$e^{-x}<1-x+\frac{x^2}{2}$$である。

(2)
(1)に$x={\displaystyle \frac{1}{k}}$を代入し、${\displaystyle \frac{1}{k^2-1}}$を掛けると、下側は$$\frac{1-\frac{1}{k}}{k^2-1}=\frac{1}{k(k+1)}$$である。よって$$S_{n,N}>\sum _{k=n}^N\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{N+1}$$である。

上側については$$\frac{1}{k^2-1}(1-\frac{1}{k}+\frac{1}{2k^2})=\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{2k^2(k^2-1)}$$である。また$k\geqq n$より$$\frac{1}{2k^2(k^2-1)}=\frac{1}{k(k+1)}\cdot \frac{1}{2k(k-1)}\leqq \frac{1}{k(k+1)}\cdot \frac{1}{2n(n-1)}$$である。したがって求める上側の不等式も得る。

(3)
(2)より$S_{n,N}$は$N$について上に有界であり、各項が正なので単調増加である。したがって$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{n,N}$$は存在する。

$n=9$として(2)で$N\to \mathrm{\infty }$とすると$$\frac{1}{9}<S_9<\frac{1}{9}(1+\frac{1}{2\cdot 9\cdot 8})=\frac{145}{1296}$$である。すなわち$$0.111\dots <S_9<0.111882\dots$$であるから、小数第4位を切り捨てて小数第3位まで求めると$$S_9=0.111$$である。

$e^{-x}$ を積分表示し、積分核を0と1の間で評価して(1)を示す。(2)では下側を望遠和にし、上側の誤差をその各項の一定倍以下に抑える。

(1)
$x>0$ では$$e^{-x}=1-{\int }_0^x{e}^{-t}dt\mathrm{.}$$$0<e^{-t}<1$（$0<t\leqq x$）より $e^{-x}>1-x$ である。また2回積分した形$$e^{-x}=1-x+{\int }_0^x(x-t)e^{-t}dt$$を用いると$$0<{\int }_0^x(x-t)e^{-t}dt<{\int }_0^x(x-t)dt=\frac{x^2}{2}\mathrm{.}$$よって $1-x<e^{-x}<1-x+x^2\mathrm{/}2$ である。

(2)
(1)に $x=1\mathrm{/}k$ を代入すると$$\frac{1-1\mathrm{/}k}{k^2-1}=\frac{1}{k(k+1)}$$だから$$S_{n,N}>\sum _{k=n}^N\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{N+1}\mathrm{.}$$上側との差は$$\frac{1}{2k^2(k^2-1)}=\frac{1}{k(k+1)}\frac{1}{2k(k-1)}\leqq \frac{1}{k(k+1)}\frac{1}{2n(n-1)}\mathrm{.}$$これを足せば$$S_{n,N}<(\frac{1}{n}-\frac{1}{N+1})(1+\frac{1}{2n(n-1)})\mathrm{.}$$(3)
正項の部分和であり、(2)で上に有界だから極限 $S_n$ は存在する。$n=9$ として $N\to \mathrm{\infty }$ とすれば$$\frac{1}{9}<S_9<\frac{1}{9}(1+\frac{1}{144})=\frac{145}{1296}\mathrm{.}$$すなわち$$0.111111\dots <S_9<0.111882\dots$$なので、小数第4位を切り捨てた小数第3位までの値は$$0.111$$である。