横浜国立大学 2023年度理系数学第5問解答・解説

問題

関数 $f (x) = e^{- x}$ を考える。次の問いに答えよ。

(1) 正の実数 $x$ に対して、以下の不等式を示せ。

1 - x < f (x) < 1 - x + \frac{x ^{2}}{2}

2以上の整数 $n, N$ （ただし $N ≧ n$ ）に対して

S_{n, N} = k = n \sum N \frac{1}{k ^{2} - 1} f (\frac{1}{k})

とおく。

(2) 2以上の整数 $n, N$ （ただし $N ≧ n$ ）に対して、次の不等式を示せ。

\frac{1}{n} - \frac{1}{N + 1} < S_{n, N} < (\frac{1}{n} - \frac{1}{N + 1}) (1 + \frac{1}{2 n ( n - 1 )})

(3) 各 $n$ に対して、極限値 $lim_{N \to \infty} S_{n, N}$ は存在し、その極限値を $S_{n}$ とおく。 $S_{9}$ の小数第3位まで（小数第4位切り捨て）を求めよ。

出典：横浜国立大学 2023年度前期理系第5問

方針

解法1

(1)は補助関数を作って微分し、 $e^{- x}$ を上下から評価する。(2)では $x = 1/ k$ を代入し、下側は $1/ (k (k + 1))$ の和として望遠和にする。上側の余分な項は下側の各項に対して一様に小さいことを使う。(3)は(2)で $N \to \infty$ として $S_{9}$ を十分狭い範囲に挟む。

解法2（積分表示から評価する方法）

$e^{- x}$ を積分表示し、積分核を0と1の間で評価して(1)を示す。(2)では下側を望遠和にし、上側の誤差をその各項の一定倍以下に抑える。

解答

解法1

(1)

$g (x) = e^{- x} - (1 - x)$ とおくと、 $g (0) = 0$ であり $g^{'} (x) = 1 - e^{- x} > 0$ である。よって $x > 0$ で $1 - x < e^{- x}$ である。

次に $h (x) = 1 - x + \frac{x ^{2}}{2} - e^{- x}$ とおく。 $h (0) = 0$ であり、

h^{'} (x) = - 1 + x + e^{- x}, h^{''} (x) = 1 - e^{- x} > 0

である。 $h^{'} (0) = 0$ だから $x > 0$ で $h^{'} (x) > 0$ 、さらに $h (x) > 0$ である。したがって

e^{- x} < 1 - x + \frac{x ^{2}}{2}

である。

(2)

(1)に $x = \frac{1}{k}$ を代入し、 $\frac{1}{k ^{2} - 1}$ を掛けると、下側は

\frac{1 - \frac{1}{k}}{k ^{2} - 1} = \frac{1}{k ( k + 1 )}

である。よって

S_{n, N} > k = n \sum N \frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{N + 1}

である。

上側については

\frac{1}{k ^{2} - 1} (1 - \frac{1}{k} + \frac{1}{2 k ^{2}}) = \frac{1}{k ( k + 1 )} + \frac{1}{2 k ^{2} ( k ^{2} - 1 )}

である。また $k ≧ n$ より

\frac{1}{2 k ^{2} ( k ^{2} - 1 )} = \frac{1}{k ( k + 1 )} \cdot \frac{1}{2 k ( k - 1 )} ≦ \frac{1}{k ( k + 1 )} \cdot \frac{1}{2 n ( n - 1 )}

である。したがって求める上側の不等式も得る。

(3)

(2)より $S_{n, N}$ は $N$ について上に有界であり、各項が正なので単調増加である。したがって $lim_{N \to \infty} S_{n, N}$ は存在する。

$n = 9$ として(2)で $N \to \infty$ とすると

\frac{1}{9} < S_{9} < \frac{1}{9} (1 + \frac{1}{2 \cdot 9 \cdot 8}) = \frac{145}{1296}

である。すなわち $0.111 \dots < S_{9} < 0.111882 \dots$ であるから、小数第4位を切り捨てて小数第3位まで求めると

S_{9} = 0.111

である。

解法2（積分表示から評価する方法）

(1)

$x > 0$ では

e^{- x} = 1 - \int_{0}^{x} e^{- t} d t .

$0 < e^{- t} < 1$ （ $0 < t ≦ x$ ）より $e^{- x} > 1 - x$ である。また2回積分した形

e^{- x} = 1 - x + \int_{0}^{x} (x - t) e^{- t} d t

を用いると

0 < \int_{0}^{x} (x - t) e^{- t} d t < \int_{0}^{x} (x - t) d t = \frac{x ^{2}}{2} .

よって $1 - x < e^{- x} < 1 - x + x^{2} /2$ である。

(2)

(1)に $x = 1/ k$ を代入すると

\frac{1 - 1/ k}{k ^{2} - 1} = \frac{1}{k ( k + 1 )}

だから

S_{n, N} > k = n \sum N \frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{N + 1} .

上側との差は

\frac{1}{2 k ^{2} ( k ^{2} - 1 )} = \frac{1}{k ( k + 1 )} \frac{1}{2 k ( k - 1 )} ≦ \frac{1}{k ( k + 1 )} \frac{1}{2 n ( n - 1 )} .

これを足せば

S_{n, N} < (\frac{1}{n} - \frac{1}{N + 1}) (1 + \frac{1}{2 n ( n - 1 )}) .

(3)

正項の部分和であり、(2)で上に有界だから極限 $S_{n}$ は存在する。 $n = 9$ として $N \to \infty$ とすれば

\frac{1}{9} < S_{9} < \frac{1}{9} (1 + \frac{1}{144}) = \frac{145}{1296} .

すなわち

0.111111 \dots < S_{9} < 0.111882 \dots

なので、小数第4位を切り捨てた小数第3位までの値は

0.111

である。

横浜国立大学 2023年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2（積分表示から評価する方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（積分表示から評価する方法）

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2023年度
理系数学第5問