横浜国立大学 2022年度 前期理系数学 第5問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2a\cos (ax)}{\sin (ax)}-\frac{2\log x}{x}\mathrm{.}$$(2)
$a=1$ のとき$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cot x-\frac{2\log x}{x},$$$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{2}{{\sin }^{2}x}-\frac{2(1-\log x)}{x^2}\mathrm{.}$$$1<x<\pi \mathrm{/}2$ では $\log x<1$ だから $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ であり、
$f^{\mathrm{\prime }}$ は狭義単調減少する。また$$\underset{x\to 1+}{\lim }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cot 1>0,\underset{x\to (\pi \mathrm{/}2)-}{\lim }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{4}{\pi }\log \frac{\pi }{2}<0.$$中間値の定理と単調性により $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ の解はただ1個である。
よって極値を与える $x$ の個数は$$1\text{個}\mathrm{.}$$(3)
$0<a\leqq 1\mathrm{/}2$ とすると$$0<y=ax<\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$$\sin y<y$、$\cos y>\sqrt{2}\mathrm{/}2$ より$$y\cot y=\frac{y\cos y}{\sin y}>\cos y>\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{1}{2}\mathrm{.}$$一方、問題文の条件から$$\log x<\log \frac{\pi }{2}<\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって$$\frac{x}{2}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=ax\cot (ax)-\log x>0.$$よって $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり、$f$ は定義域全体で狭義単調増加する。
したがって$$f(x)\text{ は極値をもたない}\mathrm{.}$$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ を $ax\cot (ax)=\log x$ と変形する。
$a=1$ では左辺 $x\cot x$ が減少、右辺 $\log x$ が増加するため、
端点の大小比較だけで交点が1個と分かる。
(3)は $2y-\tan y$ の微分から $y\cot y>1\mathrm{/}2$ を証明する。

(1)
対数微分と合成関数の微分により$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2a\cot (ax)-\frac{2\log x}{x}\mathrm{.}$$(2)
$a=1$ のとき$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0⟺x\cot x=\log x\mathrm{.}$$$L(x)=x\cot x$ とおくと$$L^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\sin x\cos x-x}{{\sin }^{2}x}<0,$$ここで $0<\sin x\cos x<x$ を用いた。一方、$\log x$ は増加する。
また$$L(1)=\cot 1>0=\log 1,\underset{x\to (\pi \mathrm{/}2)-}{\lim }L(x)=0<\log \frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$よって両者の交点はただ1個であり、$$\text{極値を与える }x\text{ は1個}\mathrm{.}$$(3)
$0<y<\pi \mathrm{/}4$ で$$H(y)=2y-\tan y$$とおく。$H(0)=0$ であり、$$H^{\mathrm{\prime }}(y)=2-\frac{1}{{\cos }^{2}y}>0$$だから $\tan y<2y$、すなわち$$y\cot y>\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$y=ax$ とすれば $0<y<\pi \mathrm{/}4$ であり、$$\frac{x}{2}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=ax\cot (ax)-\log x>\frac{1}{2}-\log \frac{\pi }{2}>0.$$よって $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ が定義域全体で成り立ち、$$f(x)\text{ は極値をもたない}\mathrm{.}$$