横浜国立大学 2022年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ を $0 < a ≦ 1$ をみたす実数とする。関数

f (x) = 2 lo g (sin (a x)) - (lo g x)^{2} (1 < x < \frac{π}{2})

について、次の問いに答えよ。

(1) $f (x)$ を微分せよ。

(2) $a = 1$ のとき、 $f (x)$ の極値を与える $x$ の個数を求めよ。

(3) $a ≦ \frac{1}{2}$ のとき、 $f (x)$ は極値をもたないことを示せ。ただし、 $lo g \frac{π}{2} < \frac{1}{2}$ を証明せずに用いてよい。

出典：横浜国立大学 2022年度前期理系第5問

方針

解法1（導関数の単調性を調べる方法）

(1)は合成関数として微分する。(2)は $a = 1$ のとき $f^{''} (x) < 0$ を示し、 $f^{'}$ が端点近くで正から負へ一度だけ変わることを使う。(3)は $y = a x < π /4$ と置き、 $y cot y > 1/2$ と $lo g x < 1/2$ を比較して $f^{'} (x) > 0$ を示す。

解法2（2つの単調関数の交点として調べる方法）

$f^{'} (x) = 0$ を $a x cot (a x) = lo g x$ と変形する。 $a = 1$ では左辺 $x cot x$ が減少、右辺 $lo g x$ が増加するため、端点の大小比較だけで交点が1個と分かる。(3)は $2 y - tan y$ の微分から $y cot y > 1/2$ を証明する。

解答

解法1（導関数の単調性を調べる方法）

(1)

f^{'} (x) = \frac{2 a cos ( a x )}{sin ( a x )} - \frac{2 lo g x}{x} .

(2)

$a = 1$ のとき

f^{'} (x) = 2 cot x - \frac{2 lo g x}{x},

f^{''} (x) = - \frac{2}{sin ^{2} x} - \frac{2 ( 1 - lo g x )}{x ^{2}} .

$1 < x < π /2$ では $lo g x < 1$ だから $f^{''} (x) < 0$ であり、 $f^{'}$ は狭義単調減少する。また

x \to 1 + lim f^{'} (x) = 2 cot 1 > 0, x \to (π /2) - lim f^{'} (x) = - \frac{4}{π} lo g \frac{π}{2} < 0.

中間値の定理と単調性により $f^{'} (x) = 0$ の解はただ1個である。よって極値を与える $x$ の個数は

1 個 .

(3)

$0 < a ≦ 1/2$ とすると

0 < y = a x < \frac{π}{4} .

$sin y < y$ 、 $cos y > 2 /2$ より

y cot y = \frac{y cos y}{sin y} > cos y > \frac{2}{2} > \frac{1}{2} .

一方、問題文の条件から

lo g x < lo g \frac{π}{2} < \frac{1}{2} .

したがって

\frac{x}{2} f^{'} (x) = a x cot (a x) - lo g x > 0.

よって $f^{'} (x) > 0$ であり、 $f$ は定義域全体で狭義単調増加する。したがって

f (x) は極値をもたない .

解法2（2つの単調関数の交点として調べる方法）

(1)

対数微分と合成関数の微分により

f^{'} (x) = 2 a cot (a x) - \frac{2 lo g x}{x} .

(2)

$a = 1$ のとき

f^{'} (x) = 0 ⟺ x cot x = lo g x .

$L (x) = x cot x$ とおくと

L^{'} (x) = \frac{sin x cos x - x}{sin ^{2} x} < 0,

ここで $0 < sin x cos x < x$ を用いた。一方、 $lo g x$ は増加する。また

L (1) = cot 1 > 0 = lo g 1, x \to (π /2) - lim L (x) = 0 < lo g \frac{π}{2} .

よって両者の交点はただ1個であり、

極値を与える x は 1 個 .

(3)

$0 < y < π /4$ で

H (y) = 2 y - tan y

とおく。 $H (0) = 0$ であり、

H^{'} (y) = 2 - \frac{1}{cos ^{2} y} > 0

だから $tan y < 2 y$ 、すなわち

y cot y > \frac{1}{2} .

$y = a x$ とすれば $0 < y < π /4$ であり、

\frac{x}{2} f^{'} (x) = a x cot (a x) - lo g x > \frac{1}{2} - lo g \frac{π}{2} > 0.

よって $f^{'} (x) > 0$ が定義域全体で成り立ち、

f (x) は極値をもたない .

横浜国立大学 2022年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（導関数の単調性を調べる方法）

解法2（2つの単調関数の交点として調べる方法）

解答

解法1（導関数の単調性を調べる方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（2つの単調関数の交点として調べる方法）

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2022年度
理系数学第5問