横国 2025年度理系数学第2問（ベクトル）｜問題・解答・解説

方針

立方体の3辺を基底ベクトルとして座標化する。 $P, Q, R, S$ の成分を並べ， $P, Q, R, S$ が同一平面上にある条件を， $\vec{P S} = u \vec{P Q} + v \vec{P R}$ とおいて係数比較する。垂直条件は内積で処理し，最後に面 $B C G F$ 上の条件 $0 ≦ β ≦ 1, 0 ≦ γ ≦ 1$ を調べる。

解答

(1)
点 $S$ は面 $B C G F$ 上にあるので， $\vec{a}$ 方向の係数は1であり， $α = 1$ である。また， $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{b}, \vec{A Q} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{A R} = t \vec{a}$ である。

(2)
$P, Q, R, S$ が同一平面上にあるから，実数 $u, v$ を用いて $\vec{P S} = u \vec{P Q} + v \vec{P R}$ と表せる。各ベクトルの成分は $\vec{P Q} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}, \vec{P R} = t \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}, \vec{P S} = \vec{a} + (β - \frac{1}{2}) \vec{b} + γ \vec{c}$ である。 $\vec{c}$ の係数から $u = γ$ ， $\vec{a}$ の係数から $1 = γ / 2 + t v$ ，したがって $v = (1 - γ / 2) / t$ である。 $\vec{b}$ の係数を比較すると $β - \frac{1}{2} = \frac{γ}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - γ / 2}{t}$ より， $β = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 t} + \frac{2 t + 1}{4 t} γ$ である。

(3)
立方体の3辺方向は互いに垂直である。直線 $P S$ と直線 $Q R$ が垂直である条件は $\vec{P S} \cdot \vec{Q R} = 0$ である。ここで $\vec{Q R} = (t - \frac{1}{2}) \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ だから，内積は $t - β - γ = 0$ となる。したがって $β + γ = t$ である。これと(2)の式を連立して， $γ = \frac{4 t^{2} - 2 t + 2}{6 t + 1}, β = \frac{2 t^{2} + 3 t - 2}{6 t + 1}$ を得る。

(4)
点 $S$ が面 $B C G F$ 上にあるためには $0 ≦ β ≦ 1, 0 ≦ γ ≦ 1$ が必要十分である。 $0 < t < 1$ では $6 t + 1 > 0$ であり， $β ≧ 0 ⟺ 2 t^{2} + 3 t - 2 ≧ 0 ⟺ t ≧ \frac{1}{2}$ である。また $β ≦ 1$ はこの範囲で成り立つ。さらに $γ ≧ 0$ は常に成り立ち， $γ ≦ 1 ⟺ 4 t^{2} - 8 t + 1 ≦ 0$ であるが， $t ≧ 1 / 2$ ならこれも満たされる。よって $\frac{1}{2} ≦ t < 1$ である。

総評

【公式解答・出題意図との照合】本問は文系第2問・理系第3問の共通問題である。公式解答例の $α, β, γ$ と $1 / 2 ≦ t < 1$ に全て一致する。

難度6，計算量6。想定時間は20分程度。立方体を3つの基本ベクトルで座標化すれば標準的に処理できる。採点上は同一平面条件の係数比較，垂直条件の内積，面上にあるための範囲条件を順に落とさないことが重要である。

【独立検算】複数の有理数 $t$ で、 $P, Q, R, S$ の共面条件を行列式、垂直条件を内積で独立に検算し、 $t = 1 / 2$ が面上条件の境界になることを確認した。

出典: 横浜国立大学 2025年度一般選抜（前期日程）数学（文系・理系共通問題）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

横浜国立大学 2025年度 前期 ベクトル理系数学 第2問

方針

解答

総評

横浜国立大学 2025年度前期ベクトル理系数学第2問