横浜国立大学 2025年度理系数学第2問解答・解説

問題

1個のさいころを3回投げ，出た目を順に $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ とする。 $O$ を原点とする $x y$ 平面上の点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ を

A_{k} (cos \frac{2 n _{k} π}{5}, sin \frac{2 n _{k} π}{5}) (k = 1, 2, 3)

によって定める。

次の問いに答えよ。

(1) 点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ がすべて一致する確率を求めよ。

(2) $O A_{1} + O A_{2}$ と $O A_{3}$ が平行になる確率を求めよ。

(3) $O A_{1} + O A_{2}$ と $O A_{3}$ が平行になるという条件のもとで， $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ がすべて奇数である条件付き確率を求めよ。

出典：横浜国立大学 2025年度前期理系第2問

方針

点は正五角形の頂点で，出目1と6だけが同じ点を与える。各頂点の重みを考えて数える。(2)では，2つの単位ベクトルの和の向きが正五角形のどの頂点方向になるかを表にし，(3)ではそのうち奇数の出目だけを数える。

解答

(1)

出目1と6は同じ点を与え，出目2，3，4，5はそれぞれ別の点を与える。したがって3点が一致する場合の数は

2^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} = 12

である。全事象は $6^{3} = 216$ 通りなので，確率は

\frac{12}{216} = \frac{1}{18}

である。

(2)

出目を5で割った余りで考える。ただし余り1に対応する出目は1と6の2通り，その他の余りに対応する出目は1通りである。正五角形の頂点方向を $0, 1, 2, 3, 4$ で表し、その単位ベクトルを $e_{i}$ とする。和の公式から

e_{i} + e_{j} = 2 cos \frac{( i - j ) π}{5} (cos \frac{( i + j ) π}{5}, sin \frac{( i + j ) π}{5})

である。係数は0にならないので、この和が $e_{k}$ と平行（逆向きも含む）になる条件は、方向角を $π$ を法として比較して

2 k \equiv i + j (mod 5)

である。各余りの重みを $m_{0} = m_{2} = m_{3} = m_{4} = 1$ ， $m_{1} = 2$ とする。固定した $k$ に対し、 $i + j \equiv 2 k (mod 5)$ を満たす順序付きの $(i, j)$ の重みの和へ、さらに第3投の重み $m_{k}$ を掛ける。具体的には

k m_{k} (i, j) の重みの和 3 投全体の通り数 017712816217731774177

となる。したがって合計は $7 + 16 + 7 + 7 + 7 = 44$ 通りである。したがって求める確率は

\frac{44}{216} = \frac{11}{54}

である。

(3)

(2)の44通りのうち， $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数であるものは

(1, 1, 1), (1, 5, 3), (3, 3, 3), (5, 1, 3), (5, 5, 5)

の5通りである。よって条件付き確率は

\frac{5}{44}

である。

横浜国立大学 2025年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2025年度
理系数学第2問