横国 2025年度理系数学第5問｜問題・解答・解説

方針

曲線 $x = y^{2}$ は $(x, y) = (t^{2}, t)$ をパラメータ表示として扱う。法線を求めた後， $t ≦ 0$ を $a = - t ≧ 0$ に置き換え，固定した $x$ に対して法線が取り得る $y$ の最大値を求める。面積は $D$ 内の縦切り積分で計算する。

解答

(1)
$(x, y) = (t^{2}, t)$ と見ると，接線の方向ベクトルは $(2 t, 1)$ である。したがって法線の方程式は $y - t = - 2 t (x - t^{2})$ である。これは $t = 0$ のときも $y = 0$ を与える。

(2)
$t ≦ 0$ として $a = - t ≧ 0$ とおく。法線の方程式は $y = 2 a (x - \frac{1}{2}) - 2 a^{3}$ となる。固定した $x$ に対して右辺を $a ≧ 0$ の関数と見ると， $0 ≦ x ≦ 1 / 2$ では最大値は0であり， $1 / 2 ≦ x ≦ 1$ では最大値は $\frac{4}{3 \sqrt{3}} {(x - \frac{1}{2})}^{3 / 2}$ である。領域 $D$ は $0 ≦ x ≦ 1, - \sqrt{x} ≦ y ≦ \sqrt{x}$ であるから，共通部分は $0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}, - \sqrt{x} ≦ y ≦ 0$ および $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1, - \sqrt{x} ≦ y ≦ \frac{4}{3 \sqrt{3}} {(x - \frac{1}{2})}^{3 / 2}$ で表される領域である。これを図示すればよい。

共通部分を青く示すと次のようになる。太い青線が法線族の通過領域 $E$ の上端である。

(3)
(2)より面積は $\int_{0}^{1 / 2} \sqrt{x} d x + \int_{1 / 2}^{1} {\sqrt{x} + \frac{4}{3 \sqrt{3}} {(x - \frac{1}{2})}^{3 / 2}} d x$ である。したがって $\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \frac{4}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{2}{5} {(\frac{1}{2})}^{5 / 2} = \frac{2}{3} + \frac{2}{15 \sqrt{6}}$ である。

総評

【公式解答・出題意図との照合】公式解答例の法線 $y = - 2 t x + 2 t^{3} + t$ 、共通領域の境界、面積 $2 / 3 + \sqrt{6} / 45$ と全て一致する。

難度7，計算量7。想定時間は30分程度。法線族の通過領域を固定したxで縦に見る発想が必要である。領域Eの上端を最大値問題として求め，Dとの共通部分を分けて積分するところが計算上の山場である。

【独立検算】固定した $x$ ごとに法線族を細かく走査し、上端が $x ≦ 1 / 2$ で $0$ 、 $x ≧ 1 / 2$ で $4 (x - 1 / 2)^{3 / 2} / (3 \sqrt{3})$ となることを数値検算した。

出典: 横浜国立大学 2025年度一般選抜（前期日程）数学（理系）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

横浜国立大学 2025年度 前期理系数学 第5問

方針

解答

総評

横浜国立大学 2025年度前期理系数学第5問