横浜国立大学 2025年度理系数学第4問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 実数 $x$ に対して， $e^{x} ≧ x + 1$ が成り立つことを示せ。

(2) 数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 1, a_{n} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} a_{n - 1} (n = 2, 3, 4, \dots)

によって定める。

(i) $n = 2, 3, 4, \dots$ に対して，

1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}

が成り立つことを示せ。

(ii) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して， $1 ≦ a_{n} < e^{1/3}$ が成り立つことを示せ。

出典：横浜国立大学 2025年度前期理系第4問

(1)は $e^{x} - x - 1$ の最小値で示す。(2)(i)では比を有理式に直し、分子の差を直接展開して $1$ と $1 + 1/ (3 n (n - 1))$ の間に挟む。指数関数の不等式で上側を指数へつなぎ、(ii)では比を順に掛けて望遠和を用いる。

$g (x) = e^{x} - x - 1$ とおく。 $g^{'} (x) = e^{x} - 1$ であるから、 $g (x)$ は $x < 0$ で減少し、 $x > 0$ で増加する。よって最小値は $x = 0$ での $g (0) = 0$ である。したがって

e^{x} ≧ x + 1

が全ての実数 $x$ で成り立つ。等号は $x = 0$ のときに限る。

まず

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} = \frac{( 3 n - 1 ) ^{3}}{27 n ^{2} ( n - 1 )}

である。分母は正であり、

(3 n - 1)^{3} - 27 n^{2} (n - 1) = 9 n - 1 > 0

だから

1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}

である。

次に、

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1 + \frac{1}{3 n ( n - 1 )}

を示す。正の数 $27 n^{2} (n - 1)$ を掛けると、この不等式は

(3 n - 1)^{3} < 27 n^{2} (n - 1) + 9 n

となる。左辺は $27 n^{3} - 27 n^{2} + 9 n - 1$ であり、右辺よりちょうど $1$ 小さいので成り立つ。

(1)を正の数 $x = 1/ (3 n (n - 1))$ に用いると $1 + x < e^{x}$ であるから、

1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1 + \frac{1}{3 n ( n - 1 )} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}

を得る。

(i)の左側の不等式から数列 ${a_{n}}$ は狭義単調増加である。 $a_{1} = 1$ より

1 ≦ a_{n}

である。

上側は $n = 1$ では明らかである。 $n ≧ 2$ とし、(i)の右側の不等式を $k = 2, 3, \dots, n$ について順に掛けると、

a_{n} < e^{\frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1}} e^{\frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 2}} \dots e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}} .

ここで

\frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{n ( n - 1 )} = 1 - \frac{1}{n}

だから、

a_{n} < e^{\frac{1}{3} (1 - 1/ n)} < e^{1/3} .

以上より

1 ≦ a_{n} < e^{1/3}

である。