横浜国立大学 2025年度 前期理系数学 第4問

(1)
$g(x)=e^x-x-1$ とおく。$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x-1$ であるから、$g(x)$ は $x<0$ で減少し、$x>0$ で増加する。よって最小値は $x=0$ での $g(0)=0$ である。したがって$$e^x\geqq x+1$$が全ての実数 $x$ で成り立つ。等号は $x=0$ のときに限る。

(2)

(i)
まず$$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}{(1-\frac{1}{3n})}^3=\frac{(3n-1{)}^3}{27n^2(n-1)}$$である。分母は正であり、$$(3n-1{)}^3-27n^2(n-1)=9n-1>0$$だから$$1<\frac{a_n}{a_{n-1}}$$である。

次に、$$\frac{a_n}{a_{n-1}}<1+\frac{1}{3n(n-1)}$$を示す。正の数 $27n^2(n-1)$ を掛けると、この不等式は$$(3n-1{)}^3<27n^2(n-1)+9n$$となる。左辺は $27n^3-27n^2+9n-1$ であり、右辺よりちょうど $1$ 小さいので成り立つ。

(1) を正の数 $x=1\mathrm{/}(3n(n-1))$ に用いると $1+x<e^x$ であるから、$$1<\frac{a_n}{a_{n-1}}<1+\frac{1}{3n(n-1)}<e^{\frac{1}{3n(n-1)}}$$を得る。

(ii)
(i)の左側の不等式から数列 $\{a_n\}$ は狭義単調増加である。$a_1=1$ より$$1\leqq a_n$$である。

上側は $n=1$ では明らかである。$n\geqq 2$ とし、(i)の右側の不等式を $k=2,3,\dots ,n$ について順に掛けると、$$a_n<e^{\frac{1}{3\cdot 2\cdot 1}}{e}^{\frac{1}{3\cdot 3\cdot 2}}\cdots e^{\frac{1}{3n(n-1)}}\mathrm{.}$$ここで$$\frac{1}{2\cdot 1}+\frac{1}{3\cdot 2}+\cdots +\frac{1}{n(n-1)}=1-\frac{1}{n}$$だから、$$a_n<e^{\frac{1}{3}(1-1\mathrm{/}n)}<e^{1\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$以上より$$1\leqq a_n<e^{1\mathrm{/}3}$$である。