広島大学 2017年度 前期理系数学 第1問

(1) $$a_1=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$$であるから$$a_2=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}+1}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$$である。また$$a_3=\frac{1\mathrm{/}\sqrt{3}}{\sqrt{1\mathrm{/}3+1}+1}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}=\tan \frac{\pi }{12}$$である。

(2)
(1)から$$a_n=\tan \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}$$と推定される。これを数学的帰納法で示す。$n=1$では成り立つ。$a_n=\tan \alpha$，$$\alpha =\frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}$$とすると，$$0<\alpha \leqq \frac{\pi }{3}$$であるから$\cos \alpha >0$であり$$\sqrt{a_n^2+1}=\sqrt{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{1}{\cos \alpha }$$である。したがって$$a_{n+1}=\frac{\tan \alpha }{\frac{1}{\cos \alpha }+1}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\tan \frac{\alpha }{2}=\tan \frac{\pi }{3\cdot 2^n}$$となる。よってすべての自然数$n$について$$a_n=\tan \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}$$である。

(3) $$x_n=\frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}$$とおくと，$x_n\to 0$かつ$$2^n{x}_n=\frac{2\pi }{3}$$である。(2)より$$2^n{a}_n=2^n\tan x_n=\frac{2\pi }{3}\cdot \frac{\tan x_n}{x_n}$$である。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$$より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n{a}_n=\frac{2\pi }{3}$$である。

漸化式を有理化して $(\sqrt{1+a_n^2}-1)\mathrm{/}{a}_n$ とし，正接の半角公式へ直接対応させる。

(1) $a_1=\sqrt{3}$ から$$a_2=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \frac{\pi }{6},a_3=2-\sqrt{3}=\tan \frac{\pi }{12}\mathrm{.}$$(2) 分母を有理化すると$$a_{n+1}=\frac{\sqrt{1+a_n^2}-1}{a_n}\mathrm{.}$$$a_n=\tan {\alpha }_n$ とおけば右辺は$$\frac{1-\cos {\alpha }_n}{\sin {\alpha }_n}=\tan \frac{{\alpha }_n}{2}\mathrm{.}$$よって帰納的に$$a_n=\tan \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}\mathrm{.}$$(3) $x_n=\pi \mathrm{/}(3\cdot 2^{n-1})$ とすれば$$2^n{a}_n=\frac{2\pi }{3}\frac{\tan x_n}{x_n}⟶\frac{2\pi }{3}\mathrm{.}$$