広島大学 2017年度理系数学第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = tan \frac{π}{3}, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{a _{n}^{2} + 1 + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$ により定める．次の問いに答えよ．(1)　 $a_{2} = tan \frac{π}{6}, a_{3} = tan \frac{π}{12}$ であることを示せ．(2)　一般項 $a_{n}$ を表す $n$ の式を推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．(3)　 $lim_{n \to \infty} 2^{n} a_{n}$ を求めよ．

出典：広島大学 2017年度前期理系第1問

方針

解法1

漸化式の形を正接の半角公式として読む。 $a_{n} = tan α_{n}$ とみると $a_{n + 1} = tan (α_{n} /2)$ になるため，一般項を $tan \frac{π}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}$ と推定する。極限は $x \to 0$ で $\frac{t a n x}{x} \to 1$ を用いる。

解法2

漸化式を有理化して $(1 + a_{n}^{2} - 1) / a_{n}$ とし，正接の半角公式へ直接対応させる。

解答

解法1

(1)

$a_{1} = tan \frac{π}{3} = 3$ であるから

a_{2} = \frac{3}{3 + 1 + 1} = \frac{3}{3} = tan \frac{π}{6}

である。また

a_{3} = \frac{1/ 3}{1/3 + 1 + 1} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3 = tan \frac{π}{12}

である。

(2)

(1)から

a_{n} = tan \frac{π}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}

と推定される。これを数学的帰納法で示す。 $n = 1$ では成り立つ。 $a_{n} = tan α$ ， $α = \frac{π}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}$ とすると， $0 < α ≦ \frac{π}{3}$ であるから $cos α > 0$ であり

a_{n}^{2} + 1 = tan^{2} α + 1 = \frac{1}{cos α}

である。したがって

a_{n + 1} = \frac{tan α}{\frac{1}{c o s α} + 1} = \frac{sin α}{1 + cos α} = tan \frac{α}{2} = tan \frac{π}{3 \cdot 2 ^{n}}

となる。よってすべての自然数 $n$ について

a_{n} = tan \frac{π}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}

である。

(3)

$x_{n} = \frac{π}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}$ とおくと， $x_{n} \to 0$ かつ $2^{n} x_{n} = \frac{2 π}{3}$ である。(2)より

2^{n} a_{n} = 2^{n} tan x_{n} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{tan x _{n}}{x _{n}}

である。 $lim_{x \to 0} \frac{t a n x}{x} = 1$ より

n \to \infty lim 2^{n} a_{n} = \frac{2 π}{3}

である。

解法2

(1)

$a_{1} = 3$ から

a_{2} = \frac{1}{3} = tan \frac{π}{6}, a_{3} = 2 - 3 = tan \frac{π}{12} .

(2)

分母を有理化すると

a_{n + 1} = \frac{1 + a _{n}^{2} - 1}{a _{n}} .

$a_{n} = tan α_{n}$ とおけば右辺は

\frac{1 - cos α _{n}}{sin α _{n}} = tan \frac{α _{n}}{2} .

よって帰納的に

a_{n} = tan \frac{π}{3 \cdot 2 ^{n - 1}} .

(3)

$x_{n} = π / (3 \cdot 2^{n - 1})$ とすれば

2^{n} a_{n} = \frac{2 π}{3} \frac{tan x _{n}}{x _{n}} ⟶ \frac{2 π}{3} .

広島大学 2017年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

広島大学 2017年度
理系数学第1問