広島大学 2017年度理系数学第4問解答・解説

問題

座標空間内の平面 $H : z = 0$ とその上の曲線 $C : \frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ を考える． $C$ 上の点を通り $z$ 軸に平行な直線の全体が作る曲面を $K$ とする． $C$ 上の $2$ 点 $A (- 1, \frac{3}{2}, 0), B (- 1, - \frac{3}{2}, 0)$ に対し，線分 $A B$ を含み平面 $H$ と $4 5^{\circ}$ の角をなす平面を $T$ とする．ただし，平面 $T$ と $z$ 軸の交点の $z$ 座標は正であるとする．平面 $H$ ，平面 $T$ および曲面 $K$ が囲む二つの立体のうち $z$ 軸と交わるものを $V$ とする．次の問いに答えよ．(1)　立体 $V$ と平面 $H$ の共通部分の面積を求めよ．(2)　立体 $V$ を平面 $x = t (- 1 < t < 2)$ で切ったとき，断面の面積 $S (t)$ を $t$ を用いて表せ．(3)　立体 $V$ の体積を求めよ．

出典：広島大学 2017年度前期理系第4問

方針

解法1

平面 $T$ は線分 $A B$ を含むので $z = x + 1$ と求まる。したがって $V$ の底面は楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} ≦ 1$ のうち $- 1 ≦ x ≦ 2$ の部分である。(2)は $x = t$ で切った長方形状の断面を求め，(3)はその断面積を積分する。

解法2

楕円を $x = 2 u$ で単位円へ変換し，底面積と $x$ 方向の一次モーメントを別々に計算して体積を求める。

解答

解法1

(1)

平面 $T$ は $A B$ を含むから， $y$ によらず

z = m (x + 1)

と表せる。平面 $H$ との角が $4 5^{\circ}$ であり， $z$ 軸との交点の $z$ 座標が正であるから $m = 1$ である。よって

T : z = x + 1

である。

$V$ は $z$ 軸と交わる方の立体なので，底面は

\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} ≦ 1, - 1 ≦ x ≦ 2

で表される。この面積は

\int_{- 1}^{2} 4 - x^{2} d x

である。半径 $2$ の円の上半分で考えると， $- 2 ≦ x ≦ - 1$ の部分の面積を引けばよいので

2 π - (\frac{2 π}{3} - \frac{3}{2}) = \frac{4 π}{3} + \frac{3}{2}

である。

(2)

$- 1 < t < 2$ で平面 $x = t$ により切ると， $y$ 方向の長さは

2 1 - \frac{t ^{2}}{4} = 4 - t^{2}

であり， $z$ 方向の高さは $0 ≦ z ≦ t + 1$ だから $t + 1$ である。よって

S (t) = (t + 1) 4 - t^{2}

である。

(3)

体積は

\int_{- 1}^{2} (t + 1) 4 - t^{2} d t

である。ここで

\int_{- 1}^{2} t 4 - t^{2} d t = 3

であり，(1)より

\int_{- 1}^{2} 4 - t^{2} d t = \frac{4 π}{3} + \frac{3}{2}

である。したがって求める体積は

\frac{4 π}{3} + \frac{3 3}{2}

である。

解法2

(1)

平面は $T : z = x + 1$ 。底面は楕円内の $- 1 ≦ x ≦ 2$ であり，

B = \int_{- 1}^{2} 4 - x^{2} d x = \frac{4 π}{3} + \frac{3}{2} .

(2)

$x = t$ の弦長は $4 - t^{2}$ ，高さは $t + 1$ なので

S (t) = (t + 1) 4 - t^{2} .

(3)

体積は底面上の高さ $x + 1$ の積分，すなわち面積 $B$ と一次モーメントの和である。

\int_{- 1}^{2} x 4 - x^{2} d x = 3 .

したがって

V = B + 3 = \frac{4 π}{3} + \frac{3 3}{2} .

広島大学 2017年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

広島大学 2017年度
理系数学第4問