広島大学 2017年度 前期理系数学 第4問

(1)
平面$T$は$AB$を含むから，$y$によらず$$z=m(x+1)$$と表せる。平面$H$との角が${45}^{\circ }$であり，$z$軸との交点の$z$座標が正であるから$m=1$である。よって$$T:z=x+1$$である。

$V$は$z$軸と交わる方の立体なので，底面は$$\frac{x^2}{4}+y^2\leqq 1,-1\leqq x\leqq 2$$で表される。この面積は$${\int }_{-1}^2\sqrt{4-x^2}dx$$である。半径$2$の円の上半分で考えると，$-2\leqq x\leqq -1$の部分の面積を引けばよいので$$2\pi -(\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。

(2)
$-1<t<2$で平面$x=t$により切ると，$y$方向の長さは$$2\sqrt{1-\frac{t^2}{4}}=\sqrt{4-t^2}$$であり，$z$方向の高さは$0\leqq z\leqq t+1$だから$t+1$である。よって$$S(t)=(t+1)\sqrt{4-t^2}$$である。

(3)
体積は$${\int }_{-1}^2(t+1)\sqrt{4-t^2}dt$$である。ここで$${\int }_{-1}^{2}t\sqrt{4-t^2}dt=\sqrt{3}$$であり，(1)より$${\int }_{-1}^2\sqrt{4-t^2}dt=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。したがって求める体積は$$\frac{4\pi }{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}$$である。

楕円を $x=2u$ で単位円へ変換し，底面積と $x$ 方向の一次モーメントを別々に計算して体積を求める。

(1) 平面は $T:z=x+1$。底面は楕円内の $-1\leqq x\leqq 2$ であり，$$B={\int }_{-1}^2\sqrt{4-x^2}dx=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$(2) $x=t$ の弦長は $\sqrt{4-t^2}$，高さは $t+1$ なので$$S(t)=(t+1)\sqrt{4-t^2}\mathrm{.}$$(3) 体積は底面上の高さ $x+1$ の積分，すなわち面積 $B$ と一次モーメントの和である。$${\int }_{-1}^{2}x\sqrt{4-x^2}dx=\sqrt{3}\mathrm{.}$$したがって$$V=B+\sqrt{3}=\frac{4\pi }{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$