広島大学 2017年度理系数学第2問解答・解説

問題

$a > 0$ とする．次の問いに答えよ．(1)　関数 $f (t) = t^{3} - 2 a t + 1$ の区間 $t ≧ 0$ における最小値を， $a$ を用いて表せ．(2)　(1)で求めた最小値が $0$ となるときの $a$ の値を $A$ とおく． $A^{3}$ を求めよ．(3)　座標平面上の曲線 $y = x^{4}$ を $C_{1}$ ，点 $(0, a)$ を中心とする半径 $a$ の円を $C_{2}$ とする． $C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点の個数を調べよ．(4)　座標平面において，点 $P$ が曲線 $y = x^{4}$ 上を動くときの点 $P$ と点 $(0, a)$ の距離の最小値を考える．その最小値が $a$ に等しくなるような $a$ の値の範囲を求めよ．

出典：広島大学 2017年度前期理系第2問

方針

解法1

(1)は $f^{'} (t) = 3 t^{2} - 2 a$ から $t ≧ 0$ での最小値を求める。(3)では円と曲線の交点条件を $u = x^{2}$ に直し，(1)の三次式 $f (u)$ の正の解の個数に帰着する。(4)も距離の二乗を $a^{2} + u f (u)$ と表し， $f (u) ≧ 0$ となる条件を使う。

解法2

円との共有点と距離を同じ式 $F (u) = u^{3} - 2 a u + 1$ の符号問題へ統一し，接する境界を $F = F^{'} = 0$ から求める。

解答

解法1

(1)

f^{'} (t) = 3 t^{2} - 2 a

である。 $t ≧ 0$ では， $f (t)$ は $0 ≦ t < \frac{2 a}{3}$ で減少し， $t > \frac{2 a}{3}$ で増加する。よって最小値は $t = \frac{2 a}{3}$ でとり，

f (\frac{2 a}{3}) = 1 - \frac{4 a}{3} \frac{2 a}{3}

である。

(2)

(1)の最小値が $0$ であるから

1 = \frac{4 A}{3} \frac{2 A}{3}

である。両辺を二乗して

1 = \frac{16 A ^{2}}{9} \cdot \frac{2 A}{3} = \frac{32 A ^{3}}{27}

となる。したがって

A^{3} = \frac{27}{32}

である。

(3)

円 $C_{2}$ の方程式は $x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$ である。 $y = x^{4}$ を代入すると

x^{2} + (x^{4} - a)^{2} = a^{2}

すなわち

x^{2} (x^{6} - 2 a x^{2} + 1) = 0

である。 $u = x^{2}$ とおくと， $x = 0$ の共有点 $(0, 0)$ のほかに， $u > 0$ で

u^{3} - 2 a u + 1 = 0

を満たすものを調べればよい。これは(1)の $f (u) = 0$ である。

$A = 3 \frac{27}{32}$ とおく。(1)，(2)より， $0 < a < A$ では $f (u) > 0$ となり正の解はない。 $a = A$ では正の重解を一つもつ。 $a > A$ では正の解を二つもつ。よって共有点の個数は

⎩ ⎨ ⎧ 135 (0 < a < A), (a = A), (a > A)

である。

(4)

$P = (x, x^{4})$ とし， $u = x^{2} ≧ 0$ とおく。点 $(0, a)$ との距離の二乗は

x^{2} + (x^{4} - a)^{2} = a^{2} + u (u^{3} - 2 a u + 1) = a^{2} + u f (u)

である。 $x = 0$ のとき距離は $a$ であるから，最小値が $a$ に等しいための条件は，すべての $u ≧ 0$ で $u f (u) ≧ 0$ となることである。これは $u > 0$ で $f (u) ≧ 0$ となることと同値であり，(1)，(2)より

0 < a ≦ 3 \frac{27}{32}

である。

解法2

(1)

$F^{'} (u) = 3 u^{2} - 2 a$ より最小点は $u = 2 a /3$ ，最小値は

1 - \frac{4 a}{3} \frac{2 a}{3} .

(2)

境界 $F = F^{'} = 0$ を満たす $A$ は

A^{3} = \frac{27}{32} .

(3)

円と $y = x^{4}$ の共有点は

x^{2} F (x^{2}) = 0.

$A = (27/32)^{1/3}$ とすると，正の根は $a < A$ で0個， $a = A$ で1個， $a > A$ で2個。各正根から $\pm x$ が出るので共有点数は順に

1, 3, 5.

(4)

距離の二乗は $a^{2} + u F (u)$ 。これが常に $a^{2}$ 以上となる条件は $F (u) ≧ 0 (u > 0)$ だから

0 < a ≦ 3 \frac{27}{32} .

広島大学 2017年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2017年度
理系数学第2問