広島大学 2017年度 前期理系数学 第2問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-2a$$である。$t\geqq 0$では，$f(t)$は$$0\leqq t<\sqrt{\frac{2a}{3}}$$で減少し，$$t>\sqrt{\frac{2a}{3}}$$で増加する。よって最小値は$$t=\sqrt{\frac{2a}{3}}$$でとり，$$f\left(\sqrt{\frac{2a}{3}}\right)=1-\frac{4a}{3}\sqrt{\frac{2a}{3}}$$である。

(2)
(1)の最小値が$0$であるから$$1=\frac{4A}{3}\sqrt{\frac{2A}{3}}$$である。両辺を二乗して$$1=\frac{16A^2}{9}\cdot \frac{2A}{3}=\frac{32A^3}{27}$$となる。したがって$$A^3=\frac{27}{32}$$である。

(3)
円$C_2$の方程式は$x^2+(y-a{)}^2=a^2$である。$y=x^4$を代入すると$$x^2+(x^4-a{)}^2=a^2$$すなわち$$x^2(x^6-2a{x}^2+1)=0$$である。$u=x^2$とおくと，$x=0$の共有点$(0,0)$のほかに，$u>0$で$$u^3-2au+1=0$$を満たすものを調べればよい。これは(1)の$f(u)=0$である。$$A=\sqrt[3]{\frac{27}{32}}$$とおく。(1)，(2)より，$0<a<A$では$f(u)>0$となり正の解はない。$a=A$では正の重解を一つもつ。$a>A$では正の解を二つもつ。よって共有点の個数は$$\{\begin{array}{ll}1& (0<a<A),\\ 3& (a=A),\\ 5& (a>A)\end{array}$$である。

(4)
$P=(x,x^4)$とし，$u=x^2\geqq 0$とおく。点$(0,a)$との距離の二乗は$$x^2+(x^4-a{)}^2=a^2+u(u^3-2au+1)=a^2+uf(u)$$である。$x=0$のとき距離は$a$であるから，最小値が$a$に等しいための条件は，すべての$u\geqq 0$で$uf(u)\geqq 0$となることである。これは$u>0$で$f(u)\geqq 0$となることと同値であり，(1)，(2)より$$0<a\leqq \sqrt[3]{\frac{27}{32}}$$である。

円との共有点と距離を同じ式 $F(u)=u^3-2au+1$ の符号問題へ統一し，接する境界を $F=F^{\mathrm{\prime }}=0$ から求める。

(1) $F^{\mathrm{\prime }}(u)=3u^2-2a$ より最小点は $$u=\sqrt{2a\mathrm{/}3}$$，最小値は$$1-\frac{4a}{3}\sqrt{\frac{2a}{3}}\mathrm{.}$$(2) 境界 $F=F^{\mathrm{\prime }}=0$ を満たす $A$ は$$A^3=\frac{27}{32}\mathrm{.}$$(3) 円と $y=x^4$ の共有点は$$x^{2}F(x^2)=0.$$$A=(27\mathrm{/}32{)}^{1\mathrm{/}3}$ とすると，正の根は $a<A$ で0個，$a=A$ で1個，$a>A$ で2個。各正根から $\pm x$ が出るので共有点数は順に$$1,3,5.$$(4) 距離の二乗は $a^2+uF(u)$。これが常に $a^2$ 以上となる条件は $F(u)\geqq 0(u>0)$ だから$$0<a\leqq \sqrt[3]{\frac{27}{32}}\mathrm{.}$$