広島大学 2017年度理系数学第3問解答・解説

問題

表が出る確率が $p$ ，裏が出る確率が $1 - p$ であるようなコインがある．ただし， $0 < p < 1$ である．このとき，正三角形の $3$ 頂点 $A, B, C$ を次の規則で移動する動点 $R$ を考える．コインを投げて表が出れば $R$ は反時計まわりに隣の頂点に移動し，裏が出れば $R$ は時計まわりに隣の頂点に移動する． $R$ は最初 $A$ にあり，全部で $(2 N + 3)$ 回移動する．ここで， $N$ は自然数である．移動回数がちょうど $k$ に達したときに $R$ が $A$ に初めて戻る確率を $P_{k} (k = 2, 3, \dots, 2 N + 3)$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $P_{2}, P_{3}$ を求めよ．(2)　 $P_{2 m}, P_{2 m + 1} (2 ≦ m ≦ N + 1)$ を求めよ．(3)　 $p = \frac{1}{2}$ とする．移動回数がちょうど $2 N + 3$ に達したときに $R$ が $A$ に $2$ 度目に戻る確率 $Q$ を求めよ．

出典：広島大学 2017年度前期理系第3問

方針

解法1

$q = 1 - p$ とおく。初めて $A$ に戻るまでは， $B$ と $C$ の間だけを往復する必要があるため，最初に $B$ へ行く場合と $C$ へ行く場合に分けて確率を掛ける。(3)では $p = \frac{1}{2}$ のとき $P_{k} = 2^{1 - k}$ となることを使い，最初の戻り時刻と二度目の戻り時刻の間隔を足し合わせる。

解法2

Aへの初帰還を更新過程として扱い，帰還間隔の分布を経路の交互性から求める。(3)は2つの独立な帰還間隔の畳み込みで数える。

解答

解法1

(1)

$q = 1 - p$ とおく。 $2$ 回目に初めて $A$ に戻るのは

A \to B \to A, A \to C \to A

の場合であるから

P_{2} = pq + q p = 2 pq

である。 $3$ 回目に初めて $A$ に戻るのは

A \to B \to C \to A, A \to C \to B \to A

の場合であるから

P_{3} = p^{3} + q^{3}

である。

(2)

最初に $B$ へ移動した場合， $A$ へ戻らないためには，戻る直前まで $B, C, B, C, \dots$ と移動するしかない。最初に $C$ へ移動した場合も同様である。

$2 m$ 回目に初めて戻る場合は，最初に $B$ へ行く経路の確率が $p^{m} q^{m}$ ，最初に $C$ へ行く経路の確率も $p^{m} q^{m}$ である。よって

P_{2 m} = 2 (pq)^{m}

である。

$2 m + 1$ 回目に初めて戻る場合は，最初に $B$ へ行く経路の確率が $p^{m + 2} q^{m - 1}$ ，最初に $C$ へ行く経路の確率が $q^{m + 2} p^{m - 1}$ である。よって

P_{2 m + 1} = (pq)^{m - 1} (p^{3} + q^{3})

である。

(3)

$p = q = \frac{1}{2}$ のとき，(1)，(2)よりすべての $k ≧ 2$ について

P_{k} = 2^{1 - k}

である。二度目に $A$ へ戻る時刻が $2 N + 3$ であるとする。最初に戻る時刻を $i$ とすると， $i = 2, 3, \dots, 2 N + 1$ であり，二度目までの間隔は $2 N + 3 - i$ である。したがって

Q = i = 2 \sum 2 N + 1 P_{i} P_{2 N + 3 - i}

である。各項は

2^{1 - i} \cdot 2^{1 - (2 N + 3 - i)} = 2^{- 2 N - 1}

であり，項数は $2 N$ 個であるから

Q = 2 N \cdot 2^{- 2 N - 1} = \frac{N}{2 ^{2 N}}

である。

解法2

$q = 1 - p$ とする。(1)

P_{2} = 2 pq, P_{3} = p^{3} + q^{3} .

(2)

初帰還まではB,Cを交互に通る。長さ $2 m$ の2経路は各 $(pq)^{m}$ ，長さ $2 m + 1$ の2経路はそれぞれ $p^{m + 2} q^{m - 1}, q^{m + 2} p^{m - 1}$ 。よって

P_{2 m} = 2 (pq)^{m}, P_{2 m + 1} = (pq)^{m - 1} (p^{3} + q^{3}) .

(3)

$p = q = 1/2$ では $P_{k} = 2^{1 - k}$ 。2度目の帰還時刻が $2 N + 3$ となる確率は

i = 2 \sum 2 N + 1 P_{i} P_{2 N + 3 - i} = 2 N \cdot 2^{- 2 N - 1} = \frac{N}{2 ^{2 N}} .

広島大学 2017年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(2)

(3)

広島大学 2017年度
理系数学第3問