広大 2018年度理系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

$(u, v) = (x + y, x y)$ として，和 $u$ を固定したときの積 $v$ の範囲を求める。条件(A)(B)の範囲をそれぞれ区間分割で出し，長方形全体では $x \in [0, 1], y \in [0, 2]$ として上下境界の差を積分する。

解答

(1)
条件(A)では $u = x + y$ ， $v = x y$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 1$ である。固定した $u$ に対して積 $x y$ の最大は $x = y = \frac{u}{2}$ のときである。端の条件も合わせると，存在範囲は $0 ≦ u ≦ 1 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4},$ $1 ≦ u ≦ 2 のとき u - 1 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4}$ である。

(2)
条件(B)では $0 ≦ x ≦ 1$ ， $1 ≦ y ≦ 2$ である。 $u = x + y$ を固定して $v = x (u - x)$ の範囲を調べると，存在範囲は $1 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ u - 1,$ $2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1$ である。

(3)
長方形全体では $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 2$ である。 $(u, v) = (x + y, x y)$ とおくと，像の範囲は $0 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4},$ $2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1$ である。よって面積は $\int_{0}^{2} \frac{u^{2}}{4} d u + \int_{2}^{3} (3 - u) d u = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$ である。

別解

解法2

方針

2次式 $p (t) = t^{2} - u t + v$ の値を端点 $t = 0, 1, 2$ で調べる。根が指定区間に入る条件を $p (0), p (1), p (2)$ の符号と判別式へ翻訳し、 $u v$ 平面の境界を直接得る。

解答

(1) $p (t) = t^{2} - u t + v = (t - x) (t - y)$ とおく。根 $x, y$ がともに $[0, 1]$ に入るとき $u = x + y, v = x y .$ まず根が実数である条件は $u^{2} - 4 v ≧ 0 ⟺ v ≦ \frac{u^{2}}{4} .$ また $x, y ≧ 0$ から $u ≧ 0, v ≧ 0,$ さらに $1 - x, 1 - y ≧ 0$ から $2 - u ≧ 0, (1 - x) (1 - y) = 1 - u + v ≧ 0.$ したがって $0 ≦ u ≦ 2, \max (0, u - 1) ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4} .$ すなわち ${\begin{cases} 0 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4} & (0 ≦ u ≦ 1), \\ u - 1 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4} & (1 ≦ u ≦ 2) . \end{cases}$ (2)

根を $x ≦ y$ とすると、条件 (B) は $0 ≦ x ≦ 1 ≦ y ≦ 2$ である。上に開く放物線 $p (t)$ の符号を使えば、これは $p (0) ≧ 0, p (1) ≦ 0, p (2) ≧ 0$ と同値である。それぞれ $v ≧ 0, 1 - u + v ≦ 0, 4 - 2 u + v ≧ 0$ だから $\max (0, 2 u - 4) ≦ v ≦ u - 1.$ 非空となる $u$ の範囲も含めて書くと ${\begin{cases} 0 ≦ v ≦ u - 1 & (1 ≦ u ≦ 2), \\ 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1 & (2 ≦ u ≦ 3) . \end{cases}$ (3)

長方形全体の像は (1), (2) の領域の和集合である。したがって ${\begin{cases} 0 ≦ v ≦ \frac{u^{2}}{4} & (0 ≦ u ≦ 2), \\ 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1 & (2 ≦ u ≦ 3) . \end{cases}$ よって面積は $\begin{aligned} S & = \int_{0}^{2} \frac{u^{2}}{4} d u + \int_{2}^{3} {(u - 1) - (2 u - 4)} d u \\ = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6} . \end{aligned}$

総評

難度6，計算量5。想定時間は18分程度。根の和と積の変換を図形領域として処理する問題である。上端が放物線になる区間と直線になる区間を正確に分けること，面積では重複でなく長方形全体の像として積分することが重要である。別解では根の区間条件を2次式の端点での符号へ翻訳し、固定した和による方法と独立に境界不等式を導いた。

出典: 広島大学 2018年度前期理系数学第1問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

広島大学 2018年度 前期理系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

広島大学 2018年度前期理系数学第1問