広島大学 2018年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 次の条件 (A) を満たす座標平面上の点 $(u, v)$ の存在範囲を図示せよ。

(A) t^{2} - u t + v = (t - x) (t - y)

と因数分解できる実数 $x, y$ で

0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1

を満たすものが存在する。

(2) 次の条件 (B) を満たす座標平面上の点 $(u, v)$ の存在範囲を図示せよ。

(B) t^{2} - u t + v = (t - x) (t - y)

と因数分解できる実数 $x, y$ で

0 ≦ x ≦ 1, 1 ≦ y ≦ 2

を満たすものが存在する。

(3) 点 $(x, y)$ が4点

(0, 0), (1, 0), (1, 2), (0, 2)

を頂点とする長方形の周および内部を動くとき、点

(x + y, x y)

の動く範囲の面積を求めよ。

出典：広島大学 2018年度前期理系第1問

方針

解法1

$(u, v) = (x + y, x y)$ として，和 $u$ を固定したときの積 $v$ の範囲を求める。条件(A)(B)の範囲をそれぞれ区間分割で出し，長方形全体では $x \in [0, 1], y \in [0, 2]$ として上下境界の差を積分する。

解法2

2次式 $p (t) = t^{2} - u t + v$ の値を端点 $t = 0, 1, 2$ で調べる。根が指定区間に入る条件を $p (0), p (1), p (2)$ の符号と判別式へ翻訳し、 $uv$ 平面の境界を直接得る。

解答

解法1

(1)

条件(A)では $u = x + y$ ， $v = x y$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 1$ である。固定した $u$ に対して積 $x y$ の最大は $x = y = \frac{u}{2}$ のときである。端の条件も合わせると，存在範囲は

0 ≦ u ≦ 1 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4},

1 ≦ u ≦ 2 のとき u - 1 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4}

である。

(2)

条件(B)では $0 ≦ x ≦ 1$ ， $1 ≦ y ≦ 2$ である。 $u = x + y$ を固定して $v = x (u - x)$ の範囲を調べると，存在範囲は

1 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ u - 1,

2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1

である。

(3)

長方形全体では $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 2$ である。 $(u, v) = (x + y, x y)$ とおくと，像の範囲は

0 ≦ u ≦ 2 のとき 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4},

2 ≦ u ≦ 3 のとき 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1

である。よって面積は

\int_{0}^{2} \frac{u ^{2}}{4} d u + \int_{2}^{3} (3 - u) d u = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}

である。

解法2

(1)

p (t) = t^{2} - u t + v = (t - x) (t - y)

とおく。根 $x, y$ がともに $[0, 1]$ に入るとき

u = x + y, v = x y .

まず根が実数である条件は

u^{2} - 4 v ≧ 0 ⟺ v ≦ \frac{u ^{2}}{4} .

また $x, y ≧ 0$ から

u ≧ 0, v ≧ 0,

さらに $1 - x, 1 - y ≧ 0$ から

2 - u ≧ 0, (1 - x) (1 - y) = 1 - u + v ≧ 0.

したがって

0 ≦ u ≦ 2, max (0, u - 1) ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4} .

すなわち

⎩ ⎨ ⎧ 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4} u - 1 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4} (0 ≦ u ≦ 1), (1 ≦ u ≦ 2) .

(2)

根を $x ≦ y$ とすると、条件 (B) は

0 ≦ x ≦ 1 ≦ y ≦ 2

である。上に開く放物線 $p (t)$ の符号を使えば、これは

p (0) ≧ 0, p (1) ≦ 0, p (2) ≧ 0

と同値である。それぞれ

v ≧ 0, 1 - u + v ≦ 0, 4 - 2 u + v ≧ 0

だから

max (0, 2 u - 4) ≦ v ≦ u - 1.

非空となる $u$ の範囲も含めて書くと

{0 ≦ v ≦ u - 1 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1 (1 ≦ u ≦ 2), (2 ≦ u ≦ 3) .

(3)

長方形全体の像は (1), (2) の領域の和集合である。したがって

⎩ ⎨ ⎧ 0 ≦ v ≦ \frac{u ^{2}}{4} 2 u - 4 ≦ v ≦ u - 1 (0 ≦ u ≦ 2), (2 ≦ u ≦ 3) .

よって面積は

S = \int_{0}^{2} \frac{u ^{2}}{4} d u + \int_{2}^{3} {(u - 1) - (2 u - 4)} d u = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6} .

広島大学 2018年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

広島大学 2018年度
理系数学第1問