広島大学 2018年度理系数学第3問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) すべての実数 $t$ に対し

1 + t ≦ e^{t}

が成り立つことを示せ。

(2) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1 + sin x} d x

の値を求めよ。

(3) 次の不等式を示せ。

\frac{π}{4} - 1 + \frac{2}{2} ≦ \int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{- s i n x} d x ≦ 2 - 2 .

出典：広島大学 2018年度前期理系第3問

方針

解法1

(1)は $e^{t} - t - 1$ の増減で示す。(2)は分母を有理化して $\frac{1 - s i n x}{c o s ^{2} x}$ とする。(3)は (1) を $t = - sin x$ と $t = sin x$ に使い，下側は $1 - sin x$ ，上側は $1/ (1 + sin x)$ で評価する。

解法2

(1)では指数関数のグラフが $t = 0$ における接線の上側にあることを、2階微分で確認する。(2)では被積分関数を、 $tan x - sec x$ の導関数として一度に見抜く。

解答

解法1

(1)

$ϕ (t) = e^{t} - t - 1$ とおくと， $ϕ^{'} (t) = e^{t} - 1$ である。したがって $t < 0$ で $ϕ^{'} (t) < 0$ ， $t > 0$ で $ϕ^{'} (t) > 0$ であり， $ϕ (t)$ は $t = 0$ で最小値 $0$ をとる。よってすべての実数 $t$ に対して

1 + t ≦ e^{t}

である。

(2)

\frac{1}{1 + sin x} = \frac{1 - sin x}{cos ^{2} x}

であるから

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1 + sin x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{sin x}{cos ^{2} x}) d x = [tan x - \frac{1}{cos x}]_{0}^{\frac{π}{4}} = 2 - 2

である。

(3)

(1)で $t = - sin x$ とすると

1 - sin x ≦ e^{- s i n x}

である。よって

\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{- s i n x} d x ≧ \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 - sin x) d x = \frac{π}{4} - 1 + \frac{2}{2}

である。

また，(1)で $t = sin x$ とすると $e^{s i n x} ≧ 1 + sin x$ であるから

e^{- s i n x} ≦ \frac{1}{1 + sin x}

である。したがって (2) より

\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{- s i n x} d x ≦ 2 - 2

である。以上より求める不等式が示された。

解法2

(1)

F (t) = e^{t} - (1 + t)

とおくと

F^{''} (t) = e^{t} > 0.

したがって $F^{'} (t)$ は単調増加し

F^{'} (0) = 0

だから、 $F$ は $t < 0$ で減少し、 $t > 0$ で増加する。ゆえに

F (t) ≧ F (0) = 0,

すなわち

1 + t ≦ e^{t} .

これは $y = e^{t}$ が $t = 0$ における接線 $y = 1 + t$ の上側にあることを表す。

(2)

\frac{d}{d x} (tan x - \frac{1}{cos x}) = \frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{sin x}{cos ^{2} x} = \frac{1 - sin x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{1 + sin x} .

したがって

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1 + sin x} d x = [tan x - \frac{1}{cos x}]_{0}^{\frac{π}{4}} = (1 - 2) - (0 - 1) = 2 - 2 .

(3)

(1)に $t = - sin x$ を代入すると

1 - sin x ≦ e^{- s i n x} .

よって

\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{- s i n x} d x ≧ \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 - sin x) d x = \frac{π}{4} - 1 + \frac{2}{2} .

一方、(1)に $t = sin x$ を代入すると

1 + sin x ≦ e^{s i n x} .

両辺は正なので逆数をとって

e^{- s i n x} ≦ \frac{1}{1 + sin x} .

したがって (2) より

\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{- s i n x} d x ≦ \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1 + sin x} d x = 2 - 2 .

以上で両側の不等式が示された。

広島大学 2018年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

広島大学 2018年度
理系数学第3問