広島大学 2018年度 前期理系数学 第3問

(1)
$\varphi (t)=e^t-t-1$ とおくと，${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)=e^t-1$ である。したがって $t<0$ で ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)<0$，$t>0$ で ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ であり，$\varphi (t)$ は $t=0$ で最小値 $0$ をとる。よってすべての実数 $t$ に対して$$1+t\leqq e^t$$である。

(2) $$\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}$$であるから$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{1+\sin x}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x})dx={[\tan x-\frac{1}{\cos x}]}_0^{\frac{\pi }{4}}=2-\sqrt{2}$$である。

(3)
(1)で $t=-\sin x$ とすると$$1-\sin x\leqq e^{-\sin x}$$である。よって$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{e}^{-\sin x}dx\geqq {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(1-\sin x)dx=\frac{\pi }{4}-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$$である。

また，(1)で $t=\sin x$ とすると $e^{\sin x}\geqq 1+\sin x$ であるから$$e^{-\sin x}\leqq \frac{1}{1+\sin x}$$である。したがって (2) より$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{e}^{-\sin x}dx\leqq 2-\sqrt{2}$$である。以上より求める不等式が示された。

(1) では指数関数のグラフが $t=0$ における接線の上側にあることを、2階微分で確認する。(2)では被積分関数を、$\tan x-\sec x$ の導関数として一度に見抜く。

(1) $$F(t)=e^t-(1+t)$$とおくと$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=e^t>0.$$したがって $F^{\mathrm{\prime }}(t)$ は単調増加し$$F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$$だから、$F$ は $t<0$ で減少し、$t>0$ で増加する。ゆえに$$F(t)\geqq F(0)=0,$$すなわち$$1+t\leqq e^t\mathrm{.}$$これは $y=e^t$ が $t=0$ における接線 $y=1+t$ の上側にあることを表す。

(2) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x-\frac{1}{\cos x})}& {\displaystyle =\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{1+\sin x}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{1+\sin x}dx}& {\displaystyle ={[\tan x-\frac{1}{\cos x}]}_0^{\frac{\pi }{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-\sqrt{2})-(0-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-\sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

(1) に $t=-\sin x$ を代入すると$$1-\sin x\leqq e^{-\sin x}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{e}^{-\sin x}dx}& {\displaystyle \geqq {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(1-\sin x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{4}-1+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、(1)に $t=\sin x$ を代入すると$$1+\sin x\leqq e^{\sin x}\mathrm{.}$$両辺は正なので逆数をとって$$e^{-\sin x}\leqq \frac{1}{1+\sin x}\mathrm{.}$$したがって (2) より$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{e}^{-\sin x}dx\leqq {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{1+\sin x}dx=2-\sqrt{2}\mathrm{.}$$以上で両側の不等式が示された。