広島大学 2018年度理系数学第4問解答・解説

問題

$0, 1, 2, 3$ の数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。この中から1枚を取り出し、数字を見て元に戻す。この操作を $N$ 回繰り返し、出た数字を順に

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{N}

とする。ただし $N ≧ 3$ とする。

さらに

α = cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}

を用いて、数列 ${X_{n}}$ を

X_{1} = α^{Z_{1}}, X_{n + 1} = X_{n} α^{Z_{n + 1}} (n = 1, 2, \dots, N - 1)

により定める。各 $n$ に対し

P_{n} = P (X_{n} = α), Q_{n} = P (X_{n} = α^{2})

とする。次の問いに答えよ。

(1) $P_{1}$ を求めよ。

(2) $α^{Z_{n + 1}} = 1$ となる確率を求めよ。

(3) $X_{n} = 1$ となる確率を $P_{n}, Q_{n}$ を用いて表せ。

(4) $P_{n + 1}$ を $P_{n}$ を用いて表せ。

(5) $P_{n}$ を求めよ。

出典：広島大学 2018年度前期理系第4問

方針

解法1

$α^{3} = 1$ を用いて，状態を $1, α, α^{2}$ の3つに分ける。1回の操作で掛けられる値の確率は $1$ が $1/2$ ， $α$ と $α^{2}$ がそれぞれ $1/4$ 。この状態遷移から $P_{n + 1}$ の一次漸化式を作る。

解法2

状態 $1, α, α^{2}$ の対称性に注目する。初めから $P_{1} = Q_{1}$ であり、遷移確率も $α$ と $α^{2}$ を入れ替えて不変なので $P_{n} = Q_{n}$ が保たれる。最後は一次漸化式を有限等比級数として解く。

解答

解法1

(1)

$Z_{1} = 1$ のときだけ $X_{1} = α$ であるから

P_{1} = \frac{1}{4}

である。

(2)

$α^{3} = 1$ である。 $Z_{n + 1} = 0, 3$ のとき $α^{Z_{n + 1}} = 1$ となるので，その確率は

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

である。

(3)

$X_{n}$ は $1, α, α^{2}$ のいずれかである。したがって

P (X_{n} = 1) = 1 - P_{n} - Q_{n}

である。

(4)

$X_{n + 1} = α$ となるのは，次の三つの場合である。

X_{n} = α かつ α^{Z_{n + 1}} = 1,

X_{n} = 1 かつ α^{Z_{n + 1}} = α,

X_{n} = α^{2} かつ α^{Z_{n + 1}} = α^{2}

である。よって

P_{n + 1} = \frac{1}{2} P_{n} + \frac{1}{4} (1 - P_{n} - Q_{n}) + \frac{1}{4} Q_{n} = \frac{1}{4} P_{n} + \frac{1}{4}

である。

(5)

(4)より

P_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{4} (P_{n} - \frac{1}{3})

である。 $P_{1} = \frac{1}{4}$ だから

P_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} (\frac{1}{4})^{n - 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4 ^{n}} = \frac{4 ^{n} - 1}{3 \cdot 4 ^{n}}

である。

解法2

(1)

X_{1} = α^{Z_{1}} = α

となるのは $Z_{1} = 1$ のときだけだから

P_{1} = \frac{1}{4} .

(2)

α^{3} = 1

であり、 $Z_{n + 1} = 0, 3$ の2通りで

α^{Z_{n + 1}} = 1.

したがって確率は

\frac{2}{4} = \frac{1}{2} .

(3)

$X_{n}$ の取り得る値は $1, α, α^{2}$ の3つだけなので

P (X_{n} = 1) = 1 - P_{n} - Q_{n} .

(4)

1回で掛ける値の分布は

掛ける値 確率 1 \frac{1}{2} α \frac{1}{4} α^{2} \frac{1}{4}

である。初項では

P_{1} = Q_{1} = \frac{1}{4} .

また遷移表は $α$ と $α^{2}$ を入れ替えても同じなので、帰納的に

P_{n} = Q_{n}

がすべての $n$ で成り立つ。

したがって $X_{n} = 1$ の確率は $1 - 2 P_{n}$ であり

P_{n + 1} = \frac{1}{2} P_{n} + \frac{1}{4} (1 - 2 P_{n}) + \frac{1}{4} P_{n} = \frac{1}{4} P_{n} + \frac{1}{4} .

(5)

漸化式を繰り返し代入すると

P_{n} = (\frac{1}{4})^{n - 1} P_{1} + \frac{1}{4} k = 0 \sum n - 2 (\frac{1}{4})^{k} .

$P_{1} = 1/4$ と有限等比級数の和を使えば

P_{n} = \frac{1}{4 ^{n}} + \frac{1}{4} \frac{1 - ( 1/4 ) ^{n - 1}}{1 - 1/4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4 ^{n}} = \frac{4 ^{n} - 1}{3 \cdot 4 ^{n}} .

広島大学 2018年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

広島大学 2018年度
理系数学第4問