広島大学 2018年度 前期理系数学 第4問

(1)
$Z_1=1$ のときだけ $X_1=\alpha$ であるから$$P_1=\frac{1}{4}$$である。

(2)
${\alpha }^3=1$ である。$Z_{n+1}=0,3$ のとき ${\alpha }^{Z_{n+1}}=1$ となるので，その確率は$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$である。

(3)
$X_n$ は $1,\alpha ,{\alpha }^2$ のいずれかである。したがって$$P(X_n=1)=1-P_n-Q_n$$である。

(4)
$X_{n+1}=\alpha$ となるのは，次の三つの場合である。$$X_n=\alpha \text{ かつ }{\alpha }^{Z_{n+1}}=1,$$$$X_n=1\text{ かつ }{\alpha }^{Z_{n+1}}=\alpha ,$$$$X_n={\alpha }^2\text{ かつ }{\alpha }^{Z_{n+1}}={\alpha }^2$$である。よって$$P_{n+1}=\frac{1}{2}{P}_n+\frac{1}{4}(1-P_n-Q_n)+\frac{1}{4}{Q}_n=\frac{1}{4}{P}_n+\frac{1}{4}$$である。

(5)
(4)より$$P_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}(P_n-\frac{1}{3})$$である。$P_1=\frac{1}{4}$ だから$$P_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{12}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3\cdot 4^n}=\frac{4^n-1}{3\cdot 4^n}$$である。

状態 $1,\alpha ,{\alpha }^2$ の対称性に注目する。初めから $P_1=Q_1$ であり、遷移確率も $\alpha$ と ${\alpha }^2$ を入れ替えて不変なので $P_n=Q_n$ が保たれる。最後は一次漸化式を有限等比級数として解く。

(1) $$X_1={\alpha }^{Z_1}=\alpha$$となるのは $Z_1=1$ のときだけだから$$P_1=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$(2)$${\alpha }^3=1$$であり、$Z_{n+1}=0,3$ の2通りで$${\alpha }^{Z_{n+1}}=1.$$したがって確率は$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$(3)

$X_n$ の取り得る値は $1,\alpha ,{\alpha }^2$ の3つだけなので$$P(X_n=1)=1-P_n-Q_n\mathrm{.}$$(4)

1回で掛ける値の分布は$$\begin{array}{cccc}\text{掛ける値}& 1& \alpha & {\alpha }^2\\ \text{確率}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$である。初項では$$P_1=Q_1=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$また遷移表は $\alpha$ と ${\alpha }^2$ を入れ替えても同じなので、帰納的に$$P_n=Q_n$$がすべての $n$ で成り立つ。

したがって $X_n=1$ の確率は $1-2P_n$ であり$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{P}_n+\frac{1}{4}(1-2P_n)+\frac{1}{4}{P}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}{P}_n+\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$(5)

漸化式を繰り返し代入すると$$P_n={\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}{P}_1+\frac{1}{4}\sum _{k=0}^{n-2}{\left(\frac{1}{4}\right)}^k\mathrm{.}$$$P_1=1\mathrm{/}4$ と有限等比級数の和を使えば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n}& {\displaystyle =\frac{1}{4^n}+\frac{1}{4}\frac{1-(1\mathrm{/}4{)}^{n-1}}{1-1\mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}-\frac{1}{3\cdot 4^n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4^n-1}{3\cdot 4^n}\mathrm{.}}\end{array}$$